logo search
Shpory_tekhnologii

27. Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Перевод из десятичной системы счисления – в двоичную и шестнадцатиричную:

  1. исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;

  2. если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу 3). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге 1);

  3. все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

  4. формируется результирующее число: его старший разряд - полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа - первый остаток от деления, а старший - последнее частное.

Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления - в десятичную:

производится по формуле A=a1*q0+a2*q1+...+an*qn , где q – система счисления, из которой необходимо перевести (2, 16).

Из двоичной в шестнадцатиричную:

  1. исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

  2. каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей

Из шестнадцатиричной в двоичную:

  1. каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

  2. незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

Особенности перевода правильных дробей из 10-ой с.с – в 2-ую и 16-ую с.с.:

  1. исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16);

  2. в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей в цифру нужной системы счисления и отбрасывается - она является старшей цифрой получаемой дроби;

  3. оставшаяся дробная часть вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами 1) и 2).

  4. процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен нулевой результат в дробной части произведения или ни будет достигнуто требуемое количество цифр в результате;

  5. формируется результат: последовательно отброшенные в шаге 2) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.

Перевод из других с.с. правильных дробей аналогичен переводу целых чисел.

При переводе дробных чисел из одной с.с. в другую, отдельно переводится целая часть числа, отдельно - дробная. Результаты складываются.

28. Представление чисел в ЭВМ.

Существуют два способа представления чисел в памяти ЭВМ. Они называются так: форма с фиксированной точкой и форма с плавающей точкой. Форма с фиксированной точкой применяется к целым числам, форма с плавающей точкой — к вещественным числам (целым и дробным). Под точкой здесь подразумевается знак-разделитель целой и дробной части числа.

Для представления отрицательных целых чисел используется дополнительный код. Дополнительным кодом двоичного числа X в N-разрядной ячейке является число, дополняющее его до значения 2. Получить дополнительный код можно следующим путем:

  1. записать внутреннее представление положительного числа X (в 2 с.с.);

  2. записать обратный код этого числа заменой во всех разрядах 0 на 1 и 1 на 0;

  3. к полученному числу прибавить 1.

Старший разряд в представлении любого отрицательного числа равен 1. Следовательно, он указывает на знак числа и поэтому называется знаковым разрядом.

Необходимость представлять отрицательные числа в дополнительном коде обусловлена тем, что в этом случае операция вычитания двух чисел сводится к сложению с дополнительным кодом вычитаемого, и процессору достаточно уметь лишь складывать числа. (А - В = А + (-В)).

Вещественные числа. Числовые величины, которые могут принимать любые значения (целые и дробные) называются вещественными числами. Также используется термин «действительные числа». Решение большинства математических задач сводится к вычислениям с вещественными числами.

Вещественные числа в памяти компьютера представляются в форме с плавающей точкой. Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления р в некоторой целой степени n, которую называют порядком: R = m * рn (пример: 25,324 = 2,5324*101)

Алгоритм представления числа с плавающей запятой:

  1. Перевести число из p-ичной системы счисления в двоичную;

  2. представить двоичное число в нормализованной экспоненциальной форме

(R = m * рn);

  1. рассчитать смещённый порядок числа;

  2. разместить знак, порядок и мантиссу в соответствующие разряды сетки.

29. Принципы организации вычислительного процесса. Алгоритм Фон-Неймана.

Сущность фон-неймановской концепции вычислительной машины можно свести к четырем принципам: