1.1.2 Эллиптическая модель

Эта модель, предложенная А.А. Пижуриным и М.С. Розенблитом [17], учитывает эллиптичность поперечного сечения, а также кривизну хлыстов и бревен. В поперечном сечении она представляет собой эллипс (рис.1.2), уравнение которого

[(x – f₁)/a]² + [(y – f₂)/b]² = 1, (1.3)

где f₁ и f₂ – координаты центра эллипса; а и b – размеры полуосей эллипса.

Рис. 1.2 Модель поверхности хлыста Пижурина-Розенблита: а – расположение хлыста в системе координат oxyz; б – поперечное сечение хлыста

Предполагается, что ось z проходит через центры комлевого и вершинного сечений хлыста. Тогда f₁ = f₁(z), f₂ = f₂(z). Функциями z являются также параметры а и b: а = а(z), b = b(z). Тогда уравнение (1.3) будет иметь вид

. (1.4)

При этом значения z ограничены диапазоном 0≤z≤L_х. хлыста. Функциями a(z) и b (z) описываются горизонтальные и вертикальные образующие. В большинстве случаев, по мнению авторов, на практике достаточно пользоваться их представлениями в виде многочленов не выше четвертого порядка:

; (1.5)

. (1.6)

Уравнение (1.4) описывает поверхность хлыста при произвольной форме его оси, задаваемой системой функций:

(1.7)

при общем виде горизонтальной и вертикальной образующих хлыста (1.5) и (1.6), и в предположении, что его сечение имеет форму эллипса. Требуемая эллиптичность достигается заданием отличающихся друг от друга значений коэффициентов (1.5) и (1.6). В частном случае, когда а_i = b_i для всех i = 0, 1, ..., 4, в любом сечении хлыста будет круг. Ось хлыста может быть представлена многоэкстремальной функцией, например, деформированной синусоидой, амплитуда которой изменяется по закону параболы, а частоты – в соответствии с выбранной функцией w(z):

f_j(z) = (C₂z² + C₁z + C₀)sin[w(z) + j], (j = 1,2). (1.8)

При таком представлении можно описать ось хлыста с любым числом волн.

Уравнение (1.4) является обобщением вышеизложенных представлений о форме хлыстов и бревен. Так, положив в нем f₁(z) = f₂(z) = 0, пренебрегая возможной эллиптичностью бревна и считая образующие его прямолинейными: а(z) = b(z) = a₀ + a₁(z), получают уравнение поверхности бревна, представленного в виде прямого кругового усеченного конуса:

x² + y² = (a₀ + a₁z)²; 0 £ z £ L.

Модель поверхности криволинейного бревна при величине простой кривизны k = d ×L (d – наибольшее отклонение в середине бревна) может быть получена на основе уравнения (1.3) в виде:

, (1.9)

где S – постоянный по длине сбег, см/м.

С помощью уравнения (1.4) или его конкретного выражения можно получить описание поверхностей досок, брусьев и т.п., вырабатываемых при раскрое пиловочного сырья. Согласно исследованиям авторов, представление образующих поверхностей хлыстов или бревен многочленами второго и третьего порядка снижает точность моделей на ≈ 8 %.