Г) Коэффициентный способ расчета

Этот способ применяется, когда имеется достоверное значение интенсивности отказов лишь одного элемента системы.

Предполагается, что при различных режимах работы справедливо соотношение

(2.8)

где _i – интенсивность отказов рассматриваемого элемента; ₀ – достоверно известная

интенсивность отказов одного элемента (основного элемента расчета). Значения коэффициентов k_i, найденные путем анализа данных по интенсивностям отказов различных элементов, приведены в табл.2.1. При вычислении этих коэффициентов за основной элемент расчета были приняты резисторы.

Таблица 2.1

Для получения значений интенсивностей отказов эле­ментов системы необходимо значение ₀ интенсивности отказов основного элемента расчета (в данном случае резистора) умножить на соответствующее значение ко­эффициента Кi. Этим коэффициентный способ расчета надежности

отличается от изложенного выше. При до­пущении (2.8) можно, используя формулы (2.1) и (2.2), написать:

(2.9)

или

(2.10)

где

(2.11)

здесь n_l — число элементов l-го типа; d—число типов элементов.

При коэффициентном способе расчета надежности также вычисляются два значения интенсивности отказов системы с..мин ис..макс, соответствующие крайнимзна­чениям коэффициентов ki всех элементов системы. Если вместо функций надежности построить зависимости ве­роятности безотказной работы в функции _0t, то полу­ченные зависимости можно считать инвариантными в отношении условий эксплуатации системы. Действительно, на основании допущения (5.8) при изменении условий эксплуатации системы будет изменяться лишь интенсивность отказов ₀ основного элемента расчета, т.е.будет меняться лишьмасштаб по оси абсцисс зависисмости p(₀t).

Для сравнения вариантов системы по надежности при коэффициентном способе ее расчета нет необходимости знать ₀. Для вариантов системы Z и Y имеем согласно (2.11):

(2.12)

где d1, d2— число типов элементов в системах Z и У; Nzl, N_yl —количество элементов типа l в соответствую­щей системе.

д) Применение формулы полной вероятности

при расчете надежности систем

При использовании формулы полной вероятности учитываются гипотезы H1, H2, . . ., Hn – несовместимые события, образующие полную группу. Вместе с одним из этих событий может произойти рас­сматриваемое событие X — безотказная работа системы в течение заданной наработки (0, ti). Вероятность по­явления события X равна сумме произведений вероят­ности каждой гипотезы P(Нj) на условную вероятность Р(X| Нj) события при этой гипотезе:

(1.13)

При использовании формулы полной вероятности для расчета надежности выбирается определенная группа элементов логической схемы, и формируются гипотезы о том, что же произошло с этой группой элементов в те­чение заданной наработки. Гипотезы могут являться сложными событиями. В каждой из гипотез учитывает­ся, что для любого элемента рассматриваемой группывозможными исходами являются либо безотказная рабо­та,либо отказ.

При вычислении условной вероятности безотказной работы системы P(X\Hj) при гипотезе Hj предполагает­ся, что произошли соот­ветствующие события (безотказная работа

пли отказ одного пли несколь­ких элементов) и рассма­триваются соответствую­щие условные логические схемы.

В качестве примера применения формулы полнойвероятности рассмотрим расчет надежности системы, ло­гическая схема для расчета надежности которой приве­дена на рис. 2.2. Рассмотрим группу из первого и треть­его элементов. Здесь возможны четыре гипотезы о со­стояниях элементов: оба элемента остались работо­способными; первый элемент отказал, второй остался работоспособным; первый элемент остался работоспособ­ным, третий отказал;обаэлемента отказали. Гипотезыи соответствующие им вероятности приведены в табл.2.2. Знаком 1 обозначеныработоспособные со­стояния элементов, знаком 0 — неработоспособные.

Подставив выражения для P(H_j) иP(X|H_j) в (2.13), получим после преобразований выражение для вероятности безотказной работы системы:

Таблица 2.2

p_c = p₁p₃ + (1 - p₁)p₃p₂ + p₁(1 - p₃)p₄ + (1 - p₁) (1 - p₃)p₂p₄ = p₁p₃ + p₂p₃ + p₁p₄ + p₂p₄ - (p₁p₂p₃ + p₁p₃p₄ + p₁p₂p₄ + p₂p₃p₄) + p₁p₂p₃p₄ (2.14)

В ряде случаев удобно применять формулу полной вероятности для вычисления вероятности отказа рассма­триваемой системы.

В любом случае цель применения формулы полной вероятности — сокращение объема математических пре­образований и вычислений.

з) Переход от логической схемы для расчета надежности к графу состояний системы

Такой переход необходим при смене метода расчета надежности, при сопоставлении результатов расчетов, выполненных различными методами, для вычисления выигрыша в надежности при переходе от невосстанав­ливаемой к восстанавливаемой системе и в других слу­чаях. Кроме того, составление графа состояний восста­навливаемой системы обычно облегчается, если предва­рительно составить логическую схему для расчета на­дежности системы, условно считая ее неремонтируемой.Чтобы облегчить переход, целесообразно выделить типовые структуры графа состояний, соответствующие типовым соединениям на логической схеме для расчета надежности. Такие типовые структуры для неремонти­руемых систем приведены в табл. 2.3. Для переходак графам состояний соответствующих восстанавливае­мых систем необходимо в графах состояний табл. 2.3 добавить стрелки с интенсивностями восстановленийэлементов.

В табл. 2.3 видно, что последовательному логическо­му соединению соответствует простой ветвящийся граф состояний системы; параллельному ненагруженному со­единению — простой неветвящийся граф (последователь­наяцепочка состояний). Параллельному нагруженномусоединению соответствует сложный граф треугольной структуры. Приведенные в табл. 2.3 графы состояний при нагруженном дублировании и двукратной избыточ­ности (три параллельно соединенных на логической схе­ме элемента) охватывают часто встречающиеся на прак­тике случаи.

В табл. 2.3 номера состояний обозначены кодом, в котором число знаков равно числу элементов, место знака соответствует номеру элемента, 1 обозначаетра­ботоспособное состояние, 0 обозначает неработоспособ­ное состояние элемента.

При равнонадежных элементах соответствующие гра­фы состояний становятся проще. Особенно значительноупрощается графсостояний, соответствующий параллель­ному нагруженному

соединению на логической схеме. Вместе с тем именно при таком логическом соединении на практике часто применяют одинаковые равнонадежные элементы.

При построении графасостояний целесообразно учитывать типовые структуры

табл. 2.3.

При элементах с различной надежностью система переходит из начального состояния (все элементы работоспособны) к состояниям, каждое из которых соответст­вует неработоспособности одного из элементов, входящих в последовательные или параллельные нагруженные соединения на логической схеме; при этом остальныеэлементы работоспособны. При нагруженном дублирова­нии пути графа сходятся к одному состоянию, соответст­вующему неработоспособности обоих элементов. Состоя­ния, соответствующие неработоспособности элементов ненагруженного резерва, всегда расположены последова­тельно с состояниями, соответствующими неработоспо­собности действующих элементов.

Учитывая эти особенности структуры графа состоя­ний, целесообразно осуществлять переход от логической схемы для расчета надежности к графу состояний в сле­дующей последовательности.

1. В логической схеме для расчета надежности выде­ляют соединения последовательно-параллельные (нагру­женные) и параллельные ненагруженные, объединив элементы в соответствующие подсистемы. Например, для логической схемы рис. 2.3 можно выделить основную (работающую) подсистему, состоящую из первого — третьего элементов, и подсистему в ненагруженном ре­зерве, состоящую из четвертого и пятого элементов.

2. Вначале строят граф состояний последовательно-параллельной подсистемы из п± элементов, начиная с со­стояния, соответствующего работоспособности всех эле­ментов. Каждое следующее состояние получается из пре­дыдущего путем применения следующих правил:

Таблица 2.3

все неработоспособные для данной подсистемы со­стояния являются конечными;

все работоспособные для данной подсистемы состоя­ния являются промежуточными;каждому промежуточномуi-му состоянию соответст­вуетn_1-i следующих состояний, различающихся нера­ботоспособностью одного из элементов, бывших работо­способными при i-м состоянии системы;

новые состояния добавляются до тех пор, пока все состояния не станут конечными;

одинаковые состояния (т. е. совпадающие по состоя­ниям элементов) объединяются.

3. По данным правилам строят графы состояний раз­дельно для нагруженных (работающих) подсистем и подсистем, находящихся в ненагруженном резерве.

4. Конечные состояния графа состояний нагруженной (работающей) подсистемы являются начальными верши­нами графа состояний для подсистемы, находящейся в ненагруженном резерве. К каждой из этих вершин необходимо подсоединить граф состояний ненагруженного резерва.

На рис. 2.3 приведен пример логической схемы для расчета надежности исоответствующего ей графа состояний.