И) Логико-вероятностный метод расчета надежности систем

Такое условное название получил метод расчета надежности систем, при котором математическая модельсистемы описывается с помощью функций алгебры логики (ФАЛ), т. е. функций,принимающих лишь два

Значения (у=1 ИЛИ у=0 и наборами двоичных аргументов, x₁,x₂,…x_n, которые также могут находиться лишь в двух несовместных (x_j = 1 илиx_j=0).

Символы x₁,x₂..., х_пхарактеризуют состояния эле­ментов, причем x_j=1соответствует работоспособности элемента, x_j = 0 соответствует его неработоспособности. Аналогично понимают символыу=1,у = 0 для системы.

Функцию алгебры логики, связывающую состояния элементов с состоянием системы, называют функциейработоспособности системы. Эту функцию составля­ют путем анализа физических особенностей работы си­стемы. Обычно имеют дело с монотонными ФАЛ, для кото­рых при любых наборахи, таких, что , имеет место соотношение.

Монотонными являются функции работоспособности систем, в которых замена неработоспособного элемента на работоспособный не может привести к отказу си­стемы.

От логической функции работоспособности переходят к уравнению работоспособности в символах обычной алгебры. При этом используют зависимости:

если x₁и х₂связаны операцией конъюнкции, то

x₁&x₂=x₁x₂;

если x₁и х₂связаны операцией дизъюнкции, то

x₁ Vx₂=x₁ +x₂ -x₁x₂

если x₁и х₂ связаны операцией строго разделитель­ной (исключающей) дизъюнкции («исключающее ИЛИ»), то

x₁ VVx₂=x₁ +x₂ - 2x₁x₂

При использовании этих зависимостей учитывают, что х₁х₁=х₁.

В уравнение работоспособности вместо обозначения простых событий x_j подставляют вероятности этих собы­тийp_j и вычисляют вероятность р_снахождения системыв работоспособном состоянии (в течение заданного интервала времени).

Например, для системы из трех элементов, логиче­ская схема которой изображена на рис. 2.1,б (нагру­женное резервирование) , функция работоспособности имеет вид:

y = x₁ V x₂ V x₃ ,

где 1, 2, 3 — номера элементов. Уравнение работоспособ­ности в символах обычной алгебры

y = x₁ + x₂ + x₃ – (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) + x₁x₂x₃ .

Выражение для вероятности безотказной работы за заданное время (0, t)

p_c=p₁+p₂+p₃– (p₁p₂+p₁p₃ +p₂p₃) +p₁p₂p₃

Тот же результат можно получить сразу по логиче­ской схеме для расчета надежности:

p_c = 1 – (1 – p₁) (1 – p₂) (1 – p₃) = p₁ + p₂ + p₃ – (p₁p₂ + p₁p₃ + p₂p₃) + p₁p₂p_{3 .}

Достоинства логико-вероятностного метода расчета надежности: 1) можно применять при любой логической структуре системы (не только при последовательно-па­раллельных логических схемах); 2) можно применять при любых распределениях наработки до отказа.

Недостатки метода: 1) не всегда удается составить логическую функцию работоспособности, достаточно точно соответствующую рассматриваемой системе; 2) для сложных систем преобразования ФАЛ становят­ся очень громоздкими. Метод нашел применение для расчета надежности систем, в которых работоспособное состояние связано с наличием электрической проводи­мости между входом и выходом системы, в частностидля судовых электроэнергетических систем.

Вопросы для самоконтроля:

1. Какие основные виды соединений на логических схемах для расчета надежности Вы знаете?

2. Перечислить операции выполняемые при вычислении значений показателей надежности. Кратко дать их описание.

3. Перечислить расчетные формулы для расчета последовательных логических соединений.

4. В каких случаях применяется коэффициентный способ расчета.

5. Приведите пример расчета надежности систем применяя формулы полной вероятности.

6. Построить граф состояний системы для расчета надежности для элементов с разной надежностью, и для равнонадежных элементов.

7. Какие основные особенности построения графов состояний Вы знаете?

8. Раскрыть смысл логико-вероятностного метода расчета надежности систем.