1.4. Энергетический метод определения критической силы

Для анализа продольной устойчивости трубопровода с начальным изгибом (рис. 6) принимается модель грунта с ограниченным сопротивлением поперечным перемещениям вверх (рис. 5).

Для первого участка сопротивления грунта, (рис. 6), дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба стержня (трубопровода) с начальным изгибом на упругом основании имеет следующий вид

(1.24)

где – коэффициент пропорциональности, который в данном случае кроме сопротивления самого грунта учитывает вес трубопровода с продуктом

; (1.25)

и – начальный и дополнительный прогибы сечений изогнутой трубы;

– продольное сжимающее усилие в начале рассматриваемого участка изогнутого трубопровода.

Для второго участка,

. (1.26)

Рис. 6. Расчетная схема подземного трубопровода с изгибом вверх

Точное совместное решение уравнений (1.24) и (1.25) получить достаточно сложно, поэтому для практических задач чаще используют энергетические методы, один из которых в простейшей постановке рассмотрен в разделе 1.1. При решении более сложных задач определяют полную энергию системы , которая равна разности потенциальной энергии деформации и работе внешних сил на возможных перемещениях

. (1.27)

Чтобы составить функционал энергии для рассматриваемой задачи, необходимо задать форму волны выпучивания трубопровода, подобно выражению (1.16). В работе [2], на основании проведенных исследований было установлено, что начальная форма изгиба трубы и форма, полученная после дополнительных поперечных перемещений , аналогичны и наилучшим образом описываются следующими выражениями

, (1.28)

, (1.29)

где – длина волны выпучивания участка трубопровода (рис. 6).

Потенциальная энергия системы труба – грунт, складывается из потенциальной энергии деформации упругоизогнутой трубы (формула 1.10) и потенциальной энергии накапливаемой грунтом при его деформации, которая подобно сжимаемой пружине будет равна половине произведения силы на перемещение для каждого бесконечно малого элемента в соответствии с уравнениями (1.24) и (1.26)

(1.30)

Работа внешних сил совершается продольной силой только на дополнительных перемещениях и будет вычисляться аналогично формулам (1.13) и (1.14)

. (1.31)

После подстановки в выражения (1.30) и (1.31) уравнений начального и дополнительного прогибов (1.28), (1.29) и интегрирования получается выражение для полной энергии системы трубопровод – грунт

(1.32)

Условию равновесия этой системы соответствует равенство нулю первой вариации полной энергии на возможных перемещениях. Для данной задачи первая вариация будет равна частной производной по дополнительной стрелке прогиба трубопровода , которая полностью определяет форму дополнительных перемещений в соответствии с выражением (1.29)

. (1.33)

Подробный анализ получаемой в результате таких исследований информации приводится в работе [2]. Наиболее важная зависимость между полным прогибом трубопровода и продольным усилием качественно представлена диаграммой на рисунке 7. На этой диаграмме полному прогибу соответствует точка потери устойчивости трубопровода второго рода, которая характеризуется неизменностью формы прогиба и наличием максимального продольного усилия, которое называется критическим

. (1.34)

Рис. 7. Диаграмма зависимости полного прогиба трубопровода

от продольного усилия