І. Системи алгебричних [алгебраїчних] рівнянь

Розв’язком системи алгебричних рівнянь з двома [трьома, чотирма, n] невідомими називають впорядкованою парою [трійка, четвірка, множина n] чисел, яка задовольняє кожне рівняння системи. Це означає, що підстановка цих чисел в кожне з рівнянь системи перетворює його в правильну рівність.

Систему рівнянь називають сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок. Сумісну систему називають визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок. Сумісну систему називають невизначеною, якщо вона має принаймні два різних розв’язки.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона не має жодного розв’язку ( не має розв’язків).

Один з найуживаніших методів розв’язання системи алгебричних рівнянь – спосіб підстановки. Згідно з цим методом в якомусь рівнянні системи виражають одну з невідомих через інші. Знайдене значення невідомої підставляють в решту рівнянь, отримуючи систему рівнянь з меншою (принаймні на одиницю) кількістю невідомих.

Для розв’язання систем лінійних алгебричних рівнянь існують спеціальні методи – правило Крамера (з використанням головного і допоміжних визначників), метод послідовного виключення невідомих Ґаусса та його модифікація – метод Йордана- Ґаусса.

Згідно з правилом Крамера розв’язком системи є впорядкована множина часток допоміжних визначників, кожний з яких відповідає певній невідомій, на головний визначник, якщо останній не дорівнює нулю.

Методи Ґаусса або Йордана-Ґаусса шляхом послідовного виключення невідомих або призводять до протиріччя, яке повідомляє про несумісність системи, або зводять систему до трикутного чи трапецієподібного виглядів. Трикутний вигляд, по-перше, означає, що система є сумісною і визначеною, по-друге, дозволяє майже автоматично знайти значення невідомих. Трапецієподібний вигляд системи свідчить, що вихідна система рівнянь є сумісною, але невизначеною. В цьому останньому випадку існує процедура, за якою можна представити множину (а саме нескінченну множину) всіх розв'язків системи.

ІІ Факультет ПМ І КІС