3.2. Шесть форм записи уравнений четырехполюсника.

Четы­рехполюсник .характеризуется двумя напряжениями и и двумя токами и. Любые две величины из четырех можно определить

Рис. 3.1

через остальные. Так как число сочетаний из 4 по 2 равно 6, то

возможны следующие 6 форм записи уравнений пассивного четырех­полюсника:

A-форма: ; (3.1)

(3.2)

Y-форма: ; (3.3)

; (3.4)

Z-форма: ; (3.5)

; (3.6)

H-форма: ; (3.7)

; (3.8)

G-форма: ; (3.9)

(3.10)

B-форма: ; (3.11)

. (3.12)

Обратим внимание на попарную инверсию Y- и Z-форм, А- и В-форм, Н- и G-форм.

Исторически сложилось так, что для A-формы (ее будем считать основной) положительные направления для токов и напряжений соот­ветствуют рис. 3.1, а; для Y-, Z-, H-, G-форм—рис. 3.1, б, В-форме—. рис. 3.1, в.

Обратим внимание на то, что, ток на рис. 3.1, б направлен про­тивоположно направлению тока на рис. 3.1, а.

На рис. 3.1, в токи и изменили направление по сравнению с токами ина рис.- 3.1, а.

Рассмотрение уравнений начнем с А-формы.

3.3. Вывод уравнений в А-форме.

Комплексные коэффициенты A, B,C, D в уравнениях (3.1) и (3.2) зависят от схемы внутренних соединений четырехполюсника, значений сопротивлений схемы и частоты. Для каждого четырехполюсника их можно определить расчетным или опытным путем. Для четырехпо-люсников, удовлетворяющих условию взаимности, коэффициенты связаны соотношением

AD-BC=l. (3.13)

Выведем уравнения (3.1) и .(3.2). С этой целью к зажимам тп подключим источник э. д. с., а к зажимам pq-на­грузку Z, (рис. 3.2, а).

Рис. 3.2

Напряжение на нагрузке . Согласно теореме ком­пенсации (см. § 1.17), заменим нагрузку Z2 источником э. д. с. с э. д. с. и направленной встречно току(рис. 3.2, б). Запишем вы­ражения для токовивыразив их через э. д. с. и вход­ные и взаимные проводимости ветвей y11, y12, y21, y22:

(a)

(б)

Если токи и рассматривать как контурные токи, то э. д. с. контуров, совпадающие с направлением контурных токов, войдут в уравнения, подобные уравнению (1.7), со знаком плюс, а э. д. с., не совпадающие с направлением соответствующих контурных токов,—' со знаком минус.

Э. д. с. направлена согласно с , поэтому она вошла в урав­нения (а) и (б) со знаком плюс; э. д. с.направлена встречно, поэтому она вошла в эти уравнения со знаком минус.

Для линейных четырехполюсников, не содержащих нелинейных элементов (для взаимных четырехполюсников), согласно принципу взаимности (см. § 1.16), y12=y21. Из (б) найдем

(в)

Подставив (в) в (а), получим

(г)

Обозначим:

A=y22/y21 , B=1/y21 ,C=(y11y22-y12y21)/y21 , D=y11/y21 . (д)

В уравнениях (в) и (г) заменим на и на и восполь­зовавшись обозначениями (д), получим уравнения в A-форме:

.

Проверим выполнение соотношения (3.13) для взаимного четырех­полюсника:

AD-BC=

Для невзаимного четырехполюсника и АВ—ВС=

Далее обсудим соотношения, котор.ые имеют место между и и и , если источник э. д. с. присоединен к зажимам pq, а нагрузка—к зажимам тп (рис. 3.3).

Как и в предыдущем выводе, заменим нагрузку Z2 на источник э. д. с. с э. д. с., направленной встречно току , и запишем вы­ражения для токови:

(е)

(ж)

Из (е) найдем

(з)

Подставим (з) в (ж):

Заменив , на и , на и воспользовавшись обозначениями (д),

перепишем две последние строчки сле­дующим образом:

(3.14)

(3.14`)

Таким образом, уравнения (3.1) и (3.2) характеризуют работу четырехполюсника при питании со стороны зажимов mn

Рис. 3.3

и присоединении нагрузки к зажимам pq, а уравнения (3.14) и (3.14')—при его питании со стороны зажимов pq и присоединении нагрузки к зажимам тп.

Четырехполюсник называют симметричным, если при перемене местами источника питания и нагрузки токи в источнике питания и нагрузке не изменяются. В симметричном четырехполюснике A = D,

Уравнения (4.1) и (4.2) иногда записывают так:

(3.1`)

(3.2`)

где A11=A; A12=B; A21=C; A22=D.