32. Дифференциальное уравнение теплопроводности. Условия однозначности

Распределение температуры в теле, описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, которое при принятых допущениях, а именно: тело однородно и изотропно; физические параметры тела постоянны во времени и пространстве; температурные деформации рассматриваемого элементарного объема малы по сравнению с самим объемом; внутренние источники теплоты распределены в рассматриваемом объеме равномерно; макрочастицы тела неподвижны относительно друг друга; имеет следующий вид:

, где – время, сек; – коэффициент температуропроводности, характеризующий скорость изменения температуры в любой точке тела, ;

– теплоемкость тела; – плотность тела; – объемная плотность тепловыделения, вm/м³; – температура; – оператор Лапласа.

Условия однозначности:

I) Геометрические условия (форма, размеры тела);

II)Физические условия (физические свойства тела и его физические параметры);

III) Начальные условия (распределение температуры в теле в начальный момент времени);

IV) Граничные условия, определяющие взаимодействие тела с окружающей средой.

1. Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности тела, как функция координат и времени:

2. Граничные условия второго рода. Задается распределение плотности потока на поверхности тела, как функция координат и времени:

В частном случае, когда плотность теплового потока на поверхности тела остается постоянной, имеем .

3. Граничные условия третьего рода. Задается температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой: если , где – коэффициент теплообмена, представляющий собой плотность теплового потока подведенного (отведенного) к единице поверхности тела при разности температур между поверхностью тела и окружающей среды 1⁰С, вm/м²град.

4. Граничные условия четвертого рода. Отражают условия теплообмена системы тел имеющих различные коэффициенты теплопроводности. Между телами предполагается идеальный контакт. Тогда , где – коэффициент теплопроводности первого тела; – коэффициент теплопроводности второго тела.

33-34. Теплопроводность через однослойные стенки (плоские, цилиндрические).

Р асчетное выражение удельного теплового потока получается из уравнения Фурье

В общем случае для стенки, состоящей из n – слоев имеем

Т емпература на стыке двух слоев:

Рассмотрим теплопроводность цилиндрической однослойной стенки с внутренним диаметром d1=2r1 и наружным диаметром d2=2r2 в условиях стационарного температурного поля. Внутренние источники теплоты отсутствуют.

Для определения теплового потока через цилиндрическую поверхность воспользуемся законом Фурье

Подставляя в уравнение Фурье значение градиента температуры

п олучим

Тепловой поток может быть отнесен либо к единице длины, либо к единице внутренней или внешней поверхности.

внутренней поверхности

наружной поверхности

Тепловой поток отнесенный к единице длины, имеет размерность Вm/м и называется линейной плотностью теплового потока.

Л инейной плотность теплового потока в случае многослойной цилиндрической стенки

Температура на границе любых двух слоев:

35-36.Теплоотдача. Закон Ньютона-Рихмана. Коэффициент теплоотдачи. Критериальные уравнения.

Количество теплоты, отдаваемое жидкостью твердой стенке или воспринимаемое жидкостью от стенки в единицу времени, определяется уравнением Ньютона –Рихмана

,

а плотность теплового потока следующим образом:

,

где α – коэффициент, характеризующий условия теплообмена между жидкостью и поверхностью твердого тела, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м²·°C); – температурный напор, K.

В соответствии с формулой по своему физическому смыслу коэффициент теплоотдачи есть плотность теплового потока (q) на поверхности тела, отнесенная к разности температур поверхности тела и окружающей среды. Коэффициент теплоотдачи численно равен плотности теплового потока при температурном напоре, равном единице.

Коэффициент теплоотдачи зависит от многих факторов. В наиболее общем случае является функцией формы и размера тела, режима движения жидкости, физических свойств жидкости, положения в пространстве и состояния поверхности теплообмена и других величин. Процесс теплоотдачи в зависимости от природы движения жидкости протекает различно.

Критерии подобия и критериальные уравнения

безразмерные комплексы, составленные из размерных величин, называются критериями подобия.

Критерий Нуссельта характеризует соотношение тепловых потоков, передаваемых конвекцией и теплопроводностью, является обычно искомой величиной, поскольку в него входит коэффициент теплоотдачи

. (105)

Критерий Рейнольдса характеризует соотношение между силами инерции и молекулярного трения (вязкости)

, (106)

где w – средняя (линейная) скорость жидкости (м/с).

Критерий Прандтля характеризует физические свойства жидкости и их влияние на конвективный теплообмен

, (107)

Критерий Грасгофа характеризует соотношение подъемной силы, возникшей вследствие разности плотностей нагретых и холодных частиц жидкости и силы молекулярного трения и является параметром интенсивности свободного движения жидкости

(109)

. В конечном счете получается общий вид критериального уравнения

– коэффициент теплопроводности твердого тела (в то время как в критерий Нуссельта - относится к окружающей среде)

В случае теплообмена, осложненного массообменном и изменением агрегатного состояния жидкости в процессе теплообмена, критерий Нуссельта зависит еще от ряда критериев.

Следует отметить, что. поскольку критериальные уравнения получены на основе эксперимента, в каждом случае указывается диапазон применимости уравнения, что принимается в качестве определяющей температуры и линейного размера при определении соответствующих критериев.