4. Сценарий рождения динамического хаоса.

В классической литературе по нелинейным динамическим системам [3 - 5] рассматриваются три сценария возникновения хаотических режимов поведения, которым соответствуют три различных каскада бифуркаций: а) сценарий Фейгенбаума и соответствующий ему каскад бифуркаций удвоения периода; б) сценарий Помо-Манневиля перехода к хаосу через перемежаемость; в) сценарий Рюэля-Такенса, которому соответствует каскад трех последовательных бифуркаций Андронова-Хопфа с последующим разрушением возникающего при этом трехмерного тора.

Сценарий Фейгенбаума, действительно, является уникальным сценарием перехода к хаосу в нелинейных динамических системах. Он служит начальной стадией субгармонического каскада бифуркаций рождения устойчивых циклов любого периода в соответствии с порядком, установленным Шарковским [8]. Именно субгармонический каскад бифуркаций ведет к возникновению аттрактора логистического отображения [3], аттрактора Ресслера [9], аттрактора Мэкки-Гласса в дифференциальном уравнении с запаздывающим аргументом [10, 11], аттрактора Магницкого в системе дифференциальных уравнений для экономических макропоказателей [12] и многих других аттракторов. Этот же каскад определяет начальную стадию двойного гомоклинического каскада бифуркаций, ведущих к возникновению аттрактора Лоренца (см. п. 2). Основной характерной чертой субгармонического каскада бифуркаций является рождение устойчивого цикла периода три.

Явление перемежаемости, обнаруженное в модели Лоренца Помо и Манневилем [3] не имеет строгого формального определения. Сущность его состоит в том, что устойчивое периодическое решение системы, исчезая при изменении параметра, тем не менее оставляет "память" о себе, так что траектории системы начинают совершать колебания, почти соответствующие колебаниям исчезнувшей устойчивой периодической траектории, но прерываемые время от времени аномальными хаотическими флуктуациями. Возможность существования такого явления иллюстрируется математически только на примерах простейших одномерных отображений.

Так, согласно Помо и Манневилю, в системе Лоренца явление перемежаемости наблюдается при значении параметра r = 166,1 [3] (при фиксированных значениях параметров  = 10 и b = 8/3). Утверждается, что устойчивый цикл, существующий в системе Лоренца для 148,5 < r < 166,07 при увеличении r исчезает, и система входит в интервал "перемежаемости", когда движение в окрестности бывшего цикла прерывается нерегулярными хаотическими всплесками. Система, якобы, "помнит" о существовавшем в ней цикле. При дальнейшем увеличении r в системе возникает хаос.

Сценарий Рюэля-Такенса перехода к хаосу, как, впрочем, и сценарий Ландау, основанный на бесконечной последовательности бифуркаций Хопфа, является скорее теоретически возможным, иллюстрацией чего служат различные модельные примеры, использующие, как правило, итерации двумерных отображений. На наш взгляд естественным кажется предположить, что в реальных системах, описываемых дифференциальными уравнениями, после возникновения устойчивого двумерного тора T 2 дальнейший переход к хаосу может осуществляться по некоторому третьему сценарию, отличному и от сценария Ландау, и от сценария Рюэля-Такенса. Действительно, такой сценарий перехода к хаосу через субгармонический (по одной частоте) каскад бифуркаций двумерных торов, был обнаружен в пятимерной системе комплексных уравнений Лоренца [13].

В сложных нелинейных динамических диссипативных системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, переход к хаосу может происходить в соответствии с тремя сценариями, которым соответствуют три различных каскада мягких бифуркаций: а) субгармонический каскад бифуркаций устойчивых циклов, начальной стадией которого является каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума; б) гомоклинический (полный или неполный) каскад бифуркаций устойчивых циклов; в) субгармонический каскад бифуркаций устойчивых двумерных торов.

Существуют ли другие сценарии перехода к хаосу в системах обыкновенных дифференциальных уравнений и может ли в них реализоваться сценарий перехода к хаосу Рюэля-Такенса через три последовательных бифуркации Андронова-Хопфа, пока неизвестно. Попытки построить пример такой системы, а также пример системы, реализующей гомоклинический каскад бифуркаций устойчивых двумерных торов к успеху не привели.