3.2. Операторы дифференцирования и передаточные функции. Преобразования Лапласа.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами удобно записывать в символической операторной форме
, (3-10)
где символ назван оператором дифференцирования,
n-ая производная отбудет.
Дифференциальные уравнения высокого порядка, имеющие производные в левой и правой части, в операторной форме примет вид
, (3-11)
где ,
.
Многочлен называют собственным оператором объекта (элемента), а многочлен-входным оператором. Собственный операторхарактеризует собственное движение описываемого объекта (элемента), то есть движения при отсутствии внешних воздействий. Входной опрераторхарактеризует воздействие, приложенное к объекту (элементу). Отношение входного операторак собственному операторуназывают передаточной функциейобъекта (элемента АСР), описываемого линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
,
тогда решение уравнения (3-11) может быть найдено в виде алгебраического уравнения
(3-12)
Идею перехода к алгебраическому методу решения дифференциальных уравнений дал английский физик Хэвисайд, который и ввел символ .
Однако при решении ряда задач с не нулевыми начальными условиями использование оператора дифференцирования не давали адекватного ответа.
Строгое математическое обоснование такого перехода дал Пьер Симон Лаплас и этот метод получил название операционного исчисления или метод преобразований Лапласа, согласно которому решение дифференциальных уравнений переводится из плоскости оригиналов (плоскости действий переменной t) в плоскость изображений (переменнойS). Выполняя действия над изображением оригинала получают изображение ответа. А затем по изображению ответа ищут его оригинал.
Допустим имеем функцию , предположим, что эта функция удовлетворяет условиям Дерихле, существо которых:
а) непрерывность функции и ее производных, это значит в исследуемом интервале функция не имеет разрыва,
б) функция абсолютно интегрируема, т.е. интеграл функции от 0 до ∞ есть конечное число
Возьмем интеграл от функции
, гдекомплексная переменная,
тогда интеграл уже не будет функцией от , но станет функцией отS.
Обозначим
Этот интеграл назван изображением функции по Лапласу, а то действие, которое отражает этот интеграл, называется прямое преобразование Лапласа. Принято записывать прямое преобразование по Лапласу как , которое называют так жеL-преобразованием.
Для большого количества функций изображения найдены.
Например, изображение постоянной величины:.
будет, если в действительной плоскости, то в плоскости изображений 1 становится величиной.
Изображение производной :;.
Американский математик Карсон предложил ввести преобразования вида , то есть практически изменил масштаб величины. Законы, установленные Лапласом, остаются, но при этомостается 1, а числочислом.
Запишем исходное уравнение
(3-13)
в изображениях по Лапласу, умножив обе части уравнения на , получим
(3-14)
Проинтегрируем уравнение (3-14) в области от 0 до ∞
(3-15)
Пусть имеем нулевые начальные условия, то есть ;, тогда в изображениях по Лапласу уравнение (3-15) примет вид
(3-16)
или (3-17)
Последнее означает, что решение дифференциального уравнения в действительной плоскости –плоскости действительной переменной перевели в плоскость изображения- плоскость комплексной переменной, и решают это уравнение как алгебраическое.
Далее по найденному изображению ответа находят его оригинал.
Для нахождения оригинала ответа надо воспользоваться обратным изображением Лапласа
,
для этого существует таблица функций обратных переходов.
Преобразуем дифференциальное уравнение, описывающее движение системы (3-11), по Лапласу, предположив нулевые начальные условия при его решении, введем обозначения:
и,
где и- изображения функции оригиналаи
получают
, (3-18)
здесь,
При нулевых начальных условиях .
Используя обозначение , решение уравнения (3-18) примет вид
Это уравнение связывает изображения выходной координаты системы с изображением-входного воздействия.
Функция - характеризует динамические свойства системы и называется передаточной функцией. Она представляет собой отношение изображения по Лапласу выходной координаты системы к изображению по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях. Подобное определение функции не находится в противоречии с ранее данным определением передаточной функции, т.к. для решения системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях комплексная переменнаяотождествлена с оператором дифференцирования.
Таким образом, зная передаточную функцию системы и определив изображениевоздействия, приложенного к системе, можно найти изображениевыходной координаты системыy(t), а затем, переходя от изображения y(s) к оригиналу , получить процесс изменения выходной координаты при наличии входного воздействия.
Имея передаточную функцию нетрудно определить амплитудно-фазовую характеристику этой системы, заменивна
,
где: -частота нанесения входного воздействия и при установившемся колебательном движении системы – частота изменения ее выходной координаты.
- Дальневосточный государственный технический университет (двпи им. Куйбышева)
- Предисловие
- Введение
- Глава 1. Основные понятия и определения в теории и практике автоматического регулирования
- Структура аср и ее основные элементы.
- 1.2 Переходные процессы в аср.
- 1.3 Статические и астатические системы регулирования.
- 1.4 Принципы автоматического регулирования.
- Глава 2. Динамические характеристики объектов регулирования
- 2.1 Разгонные характеристики объектов регулирования.
- 2.2 Импульсные характеристики объектов регулирования.
- 2.3 Частотные характеристики объектов регулирования.
- Глава 3. Методы математического моделирования автоматических систем регулирования
- 3.1 Методы составления дифференциальных уравнений аср.
- 3.2. Операторы дифференцирования и передаточные функции. Преобразования Лапласа.
- 3.3 Примеры составления уравнений объектов регулирования.
- Глава 4. Типовые элементарные звенья и структурные схемы аср.
- 4.1 Типовые элементарные звенья.
- 4.2 Структурные схемы и типы соединения звеньев.
- Глава 5. Устойчивость систем регулирования
- 5.1 Теорема Ляпунова.
- 5.2 Алгебраические критерии устойчивости.
- 5.3 Критерий устойчивости Михайлова.
- 5.4 Частотный критерий устойчивости Найквиста - Михайлова.
- 5.5 Выделение областей устойчивости системы.
- 5.6 Показатели устойчивости системы.
- Глава 6. Качество процессов регулирования и методы оценки качества
- 6.1 Показатели качества регулирования.
- Интегральные критерии качества регулирования.
- Глава 7. Законы регулирования в автоматических системах
- 7.1 Функциональная схема регулятора.
- 7.2 Законы регулирования.
- 7.10 Динамическая характеристика пд- регулятора
- 7.10 Динамическая характеристика пид- регулятора
- Глава 8. Исполнительные механизмы в аср
- 8.1 Исполнительные механизмы с постоянной скоростью.
- 8.2 Исполнительные механизмы с переменной скоростью.
- Исполнительные механизмы с пропорциональной скоростью.
- Глава 9. Реализация законов регулирования
- 9.1 Регулятор пропорционального действия, п-регулятор.
- 9.2 Пропорционально-интегральный регулятор, пи-регулятор.
- 9.3 Выбор типа регулятора.
- Глава 10. Настройка регуляторов электрических систем регулирования
- 10.1 Статическая настройка.
- 10.2 Динамическая настройка.
- Глава 11. Электрические средства автоматического регулирования
- 11.1 Электрическая унифицированная система приборов автоматического регулирования «каскад».
- 11.2 Агрегатный комплекс электрических средств регулирования «акэср».
- Система приборов автоматического регулирования «ремиконт».
- Глава 12. Автоматическое регулирование паровых котлов
- 12.1 Автоматическое регулирование процесса горения барабанных котлов.
- 12.2 Схемы регулирования процесса горения паровых барабанных котлов.
- 12.3 Регулирование процесса горения на котлах с шахтно-мельничными топками.
- Vобщ – расход общего воздуха, Vперв – расход первичного воздуха, – скорость изменения мощности моторов мельниц.
- 12.4 Регулирование процесса горения на котлах, работающих на жидком и газообразном топливе.
- 12.5 Управление котлами при параллельной работе на общую паровую магистраль.
- 12.4 Режимные характеристики котлов.
- 12.5 Принципиальная схема каскадного регулирования давления пара с главным корректирующим регулятором.
- 12.6 Регулирование питания барабанного котельного агрегата водой.
- 12.7 Автоматическое регулирование температуры перегрева пара.
- 12.8 Регулирование температуры пара вторичного перегрева.
- 12.9 Регулирование непрерывной продувки барабанных паровых котлов.
- Глава 13. Регулирование прямоточных котлов
- 13.1 Регулирование процессов горения и питания прямоточных котлов.
- 13.2 Регулирование температуры пара прямоточных котлов.
- Глава 14. Автоматизация вспомогательного оборудования котельных агрегатов тэс
- 14.1 Регулирование пылесистем с шаровыми барабанными мельницами.
- 14.2 Регулирование молотковых мельниц.
- Глава 15. Автоматические тепловые защиты котельных агрегатов тэс
- 15.1 Автоматические защитные устройства.
- 15.2 Автоматические защиты барабанных паровых котлов.
- Глава 16. Автоматизация отопительных и производственных котельных
- 16.1 Автоматическое регулирование паровых барабанных котлов малой мощности.
- 16.2 Автоматическое регулирование водогрейных котлов.
- 16.3 Автоматическое регулирование вспомогательного оборудования.
- 16.4 Автоматизация процессов в тепловых сетях.
- 16.5 Автоматическое регулирование котлов малой производительности.
- 16.6 Автоматическое регулирование процессов водоподготовки.