9.1. Деформации в прямых стержнях при растяжении – сжатии.

Математическая модель стержня при растяжении содержит: уравнение равновесия, геометрические соотношения Коши и физические соотношения, выражаемые законом Гука.

Рисунок 30. Схема нагружения элемента стержня при растяжении.

• Уравнение равновесия элемента стержня в проекциях сил на ось z

(9.1)

, (9.2)

где – продольная сила;

- погонная продольная нагрузка.

• Геометрическое соотношение. Формула Коши. В соответствии с гипотезой плоских сечений перемещение плоского сечения перпендикулярного оси является функцией одной переменной (рисунок 31) . Формула Коши устанавливает дифференциальную зависимость между продольными перемещениями стержня и относительной линейной деформацией

. (9.3)

• Физические зависимости. Закон Гука при одноосном напряженном состоянии

, (9.4)

где - нормальные напряжения в поперечном сечении стержня.

При равномерном распределении напряжений в поперечном сечении получаем продольную силу

, (9.5)

где – площадь поперечного сечения стержня.

После последовательной подстановки в уравнение (9.5) выражений (9.4) и (9.3)

, (9.6)

и с учетом (9.2) получается математическая модель прямого стержня при растяжении - сжатии

(9.7)

Продольные перемещения находятся двукратным интегрированием выражения (9.7)

(9.8)

где нагрузочная функция, зависящая от заданной нагрузки ;

и – постоянные интегрирования определяемые из граничных условий.

Если стержень находится в линейноупругой среде, препятствующей продольным перемещениям прямого стержня и имеющей жесткость , то сопротивление среды будет пропорционально продольным перемещениям и направлено против этих перемещений

(9.9)

а дифференциальное уравнение (9.7) принимает вид

, (9.10)

где .

Такая математическая модель может быть использована для определения продольных перемещений магистрального трубопровода в случае линейной модели грунта. Однако, исследования показали, что она применима только для малых перемещений, а для больших перемещений существует нелинейная зависимость между сопротивлением грунта и продольными перемещениями .

Чтобы повысить точность расчетов на практике применяют нелинейную модель, которая отражает реальные свойства грунта.