3.3 Примеры составления уравнений объектов регулирования.

Уравнения ротора турбины. На ротор турбоагрегата действует с одной стороны- вращающий момент, обусловленный движущими силами на лопатках турбины, расходом пара в проточную часть турбоагрегата, а с другой –момент сил сопротивления со стороны генератора, для привода которого служит турбина (Рис.4.1).

Рис. 3.1. Паровая конденсационная турбина

1. регулировочные клапаны, 2- турбина, 3- генератор, 4- конденсатор.

При установившемся режиме работы турбогенератора ротор вращается равномерно с постоянной скоростью, что возможно только при равенстве моментов сил Мт- движущих сил и Мг-сил сопротивления.

Мт₀-Мг₀=0 , (3-19)

Индекс нуль соответствует установившемуся движению.

В процессе регулирования равенство моментов сил может нарушаться, например, из-за изменения давления пара перед турбоагрегатом, расхода пара в проточной части турбины, изменения электрического сопротивления приборов и агрегатов, подключенных к генератору.

Для неустановившегося движения, согласно теоремы Эйлера об изменении момента количества движения, производная во времени от главного момента движения системы относительно оси ротора равна главному моменту внешних сил относительно этой оси.

(3-20)

Здесь -момент инерции ротора турбоагрегата, величина постоянная для турбогенератора, определяется весом ротора.

-угловая скорость вращения.

при этом ;

Вычтем почленно из уравнения (3-20) уравнение (3-19), тогда уравнение движения ротора турбогенератора примет вид

(3-21)

Момент движущих сил на лопатках турбоагрегата можно рассматривать как функцию

где - параметры пара перед турбиной,- давление пара в конденсаторе турбины,- величина открытия регулировочных клапанов турбины,- угловая скорость вращения ротора турбины.

Момент сил сопротивления на валу генератора - Мг зависит от скорости вращения вала, а так же суммарного электрического сопротивления, подключенного к генератору. Поскольку это сопротивление может меняться произвольно, то зависимость является случайной функцией времени. Поэтому общее изменение момента Мг можно представить в виде ,

где - изменение момента в зависимости от скорости вращения ротора турбоагрегата при постоянном сопротивлении сети,

- изменение момента в зависимости от сопротивления сети при постоянной скорости вращения ротора.

Допустим, что параметры пара не меняются, то есть изоэнтропийный перепад энтальпий (теплоперепад) в процессе расширения пара в проточной части турбины не изменен, тогда.Разложим функцииив ряд по степеням независимых переменных (ряд Тэйлора), оставив в нем только члены ряда, содержащие отклонения не выше первой.

,

.

В результате уравнение ротора турбоагрегата с учетом малых отклонений независимых переменных от установившегося состояния примет вид

, (3-22)

Перейдем в этом уравнении к относительным величинам независимых переменных, выбрав в качестве базовых -номинальное значение угловой скорости вращения ротора турбоагрегата,-максимальное перемещение регулировочного клапана турбоагрегата, соответствующее изменению нагрузки турбоагрегата от холостого хода до максимальной.

-максимальный момент сил сопротивления на валу генератора.

Обозначим ;;

Тогда уравнение (3-22) в относительных величинах независимых переменных будет:

, (3-23).

Разделим переменные

, (3-24)

здесь ;;;-постоянные коэффициенты при независимых переменных.

Обозначим: ;;

Уравнение (3-24) примет вид:

, (3-25)

или , (3-26)

где ;;

-динамическая постоянная ротора турбоагрегата, имеет размерность времени.

-безразмерные коэффициенты, которые не содержат момента инерции ротора и характеризуют статические свойства системы.

Уравнение (3-26) в операторной форме:

, (3-27)

Или в изображениях по Лапласу

. (3-28)

Частные производные в составе постоянных коэффициентов уравнения (3-24) могут быть определены либо аналитически, либо из графиков статических характеристик в предположении постоянного значения всех независимых переменных, кроме той, по которой вычисляется производная.

Так вычисляется в предположенииm=idem

Рис. 3.2. Статические характеристики турбогенератораа) , б) , в)

; т.к. , то ;

; т.к.

Подставив в формулу определения Т известные для данного типа турбин значение находят динамическую постоянную ротора турбины.

Т-время достижения ротором двойной частоты вращения при полном сбросе нагрузки с постоянным ускорением, равным начальному значению.

Примем характеристику регулировочных органов турбоагрегата (Рис. 3-2,б) линейной, тогда

.

Подставив найденные значения частных производных в формулы расчета иполучают:

,,

т.е. , а значит,.

В уравнении (3-25) член уравнения выражает свойства саморегулирования ротора турбоагрегата как объекта регулирования.

Уравнение емкости - резервуар неизменной вместимости.

Рис. 3.3. Схема резервуара для газа.

V-емкость резервуара, заполненного газом, G₁- количество притекающего газа, G₂- количество вытекающего газа, m₁, m₂- координаты, определяющие положение распределительных органов- задвижек резервуара на входе и выходе газа, Р- давление газа в резервуаре.

1. В установившемся режиме

. (3-29)

2. При нарушении равенства расходов путем воздействия на распределительные органы согласно закону сохранения материи

, (3-30)

где ,

Предположим, что в неравновесных процессах состояние газа в резервуаре изменяется политропно: ,n-показатель политропы.

Продифференцировав уравнение политропы, получим

и подставим в уравнение (3-30)

Для малых отклонений независимых переменных уравнение (3-30) станет (3-31)

где -массовый вес газа.

Предположим: ,,

тогда для малых колебаний имеем

Подставив выражения для ив уравнение (3-31) и представив переменные в относительных величинах, получим уравнение газового объема

, (3-32)

где;;

или в операторной форме (3-33)

-динамическая постоянная для емкости,и- коэффициенты

;.

;;.

Частные производные для постоянных коэффициентов уравнения (3-33) и находят по статическим характеристикам ОР, как ОР давления газа (Рис.3.4) и характеристика для регулировочных задвижек. (Рис. 3.5)

Рис. 3.4. Статические характеристики резервуара газа.

Рис. 3.5. Статические характеристики регулировочных органов.

Элементы, из которых составлена система регулирования могут существенно различаться по физической природе протекающих процессов, но сами процессы при этом будут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями. Сходство дифференциальных уравнений означает, что рассматриваемые объекты (элементы) математически подобны и что они обладают одинаковыми или близкими динамическими свойствами.