ОТУ вообще пушка

19) Логарифмические и амплитудно-фазовые частотно-фазовые

При практических расчетах АСР удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат (логарифмические частотные характеристики – ЛЧХ). Они характеризуются большей линейностью и на определенных участках изменения частот могут быть заменены прямыми линиями и в целом представлены ломаными линиями. Причем отрезки прямых в большинстве случаев можно построить при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, т.к. умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

За единицу длины по оси частот ЛЧХ принимается декада. Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением и его десятикратным значением. Отрезок, соответствующий одной декаде, равен 1.

Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

, дБ, (86)

ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – белах или децибелах (0,1 бела), сокращенно дБ (рис. 23).

Бел – единица измерения отношения мощности двух сигналов. Если мощность одного сигнала больше мощности другого в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 Б (lg10 = 1).

Т.к. мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды ,то

или

При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяется только для оси абсцисс.

Рис. 23. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) — удобное представление частотного отклика линейной стационарной динамической системы в виде графика в комплексных координатах. На таком графике частота выступает в качестве параметра кривой, фаза и амплитуда системы на заданной частоте представляется углом и длиной радиус-вектора каждой точки характеристики. По сути такой график объединяет на одной плоскости амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.

Термин употребляется также в применении к передаточной функции системы, записанной в виде преобразования Фурье выходного сигнала, поделённого на преобразование Фурье входного сигнала.

20) Многоконтурные стационарные линейные системы

Пусть — входной сигнал линейной стационарной системы, а — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

где и — преобразования Лапласа для сигналов и соответственно:

21) Нестационарные линейные системы

Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:

Линейность означает, что связь между входом и выходом системы удовлетворяет свойству. Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством: если сигнал на входе системы (воздействие) —

x(t) = A·x₁(t) + B·x₂(t)

тогда сигнал на выходе системы (реакция) —

y(t) = A·y₁(t) + B·y₂(t)

для любых постоянных A и B, где y_i(t) — выход системы как реакция на входной сигнал (воздействие) x_i(t).

Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.

Динамика систем, обладающих вышеперечисленными свойствами, может описываться одной простой функцией, к примеру, импульсной переходной функцией. Выход системы может рассчитываться как свёртка входного сигнала с импульсной переходной функцией системы. Этот метод анализа иногда называется анализом во временной области. Сказанное справедливо и для дискретных систем.

Связь между временно́й и частотной областями

Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей передаточной функции, которая является преобразование Лапласа импульсной передаточной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен произведению передаточной функции и соответствующего преобразования входного сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответствует умножение в частотной области.

Для всех ЛСС собственные функции являются комплексными экспонентами. То есть, если вход системы представляет собой комплексный сигнал с некоторой комплексной амплитудой и частотой , то выход будет равен некоторому сигналу с комплексной амплитудой . Отношение будет являться передаточной функцией системы на частоте .

Так как синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряжёнными частотами, если вход системы — синусоида, то выходом системы будет также синусоида, в общем случае с другой амплитудой и фазой, но с той же частотой.

Теория ЛСС хорошо подходит для описания многих систем. Большинство ЛСС гораздо проще анализировать, чем нестационарные и нелинейные системы. Любая система, динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является линейной стационарной системой. Примерами таких систем являются электрические схемы, собранные из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (RLC-цепочки). Груз на пружинке также можно считать ЛСС.

Большая часть общих концепций ЛСС схожа как в случае непрерывных систем, так и в случае дискретных систем.

22-23) Устойчивость линейных систем автоматического управления

Рассматривается уравнение

x′ = f(t, x),

(НС)

f: [t₀, +∞) × Rⁿ → Rⁿ,

(2)

и фиксированное его решение x = φ(t) = g_t₀^t(x₀) на [t₀, +∞). Предполагается, что выполнены условия обобщенной теоремы Коши — Пикара.

Решение φ называется

— устойчивым по Ляпунову, если (см. рис. 2а)

∀ (ε > 0) ∃ (δ > 0) ∀(x₀: |x₀ – x₀| < δ) ∀ (t ≥ t₀)

[

g_t₀^t(x₀)– g_t₀^t(x₀)

< ε

]

;

— асимптотически устойчивым, если (см. рис. 2б)

1) оно устойчиво,

2) ∃ (Δ > 0) ∀ (x₀: |x₀ – x₀| < Δ) [g_t₀^t(x₀)– g_t₀^t(x₀)→ 0 при t → +∞];

— асимптотически устойчивым в целом, если оно асимптотически устойчиво, причем в 2) можно взять Δ = +∞; другими словами, 2) заменяется на

2') ∀ (x₀) [g_t₀^t(x₀)– g_t₀^t(x₀)→ 0 при t →+∞];

— экспоненциально устойчивым, если

∃ (Δ₁ > 0, M > 0, γ > 0) ∀(x₀: |x₀ – x₀| < Δ₁) ∀ (t ≥ t₀)

[

g_t₀^t(x₀)– g_t₀^t(x₀)

≤ Me^–γ(^t^–^t⁰⁾ |x₀ – x₀|

]

;

— экспоненциально устойчивым в целом, если в качестве Δ₁ можно взять +∞, т. е.

∃ (M > 0, γ > 0) ∀ (x₀) ∀ (t ≥ t₀)

[

g_t₀^t(x₀)– g_t₀^t(x₀)

≤ Me^–γ(^t^–^t⁰⁾ |x₀ – x₀|

]

Рис. 2.

Очевидно, экспоненциальная устойчивость решения влечет его асимптотическую устойчивость, которая, в свою очередь, влечет устойчивость. Нетрудно проверить также, что обратные импликации не справедливы (для второй это уже показано в п. 4.2.1).

Как видно из определения, устойчивость решения φ(t) = g_t₀^t(x₀)— это непрерывность семейства операторов сдвига {g_t₀^t: t ≥ t₀} в точке x₀, равномерная относительно t ∈ [t₀, +∞). Из теоремы об условии Липшица для оператора сдвига вытекает, что соответствующее семейство {g_t₀^t: t ∈ [t₀, t₁]} для любого отрезка [t₀, t₁] в условиях обобщенной теоремы Коши — Пикара всегда равномерно непрерывно в любой точке x₀, т. к.

g_t₀^t(x₀)– g_t₀^t(x₀)

≤

(

exp

∫

t t₀

M(s) ds

)

·|x₀ – x₀|.

В частности, так будет для уравнения (1) и при a > 0, хотя устойчивости нулевого решения нет.

Пусть Φ_t₀(t) — фундаментальная матрица (ЛОС), нормальная в t₀. Утверждается, что

(а) (ЛС) устойчива ⇔ Φ_t₀(t) ограничена на [t₀, +∞);

(б) (ЛС) асимптотически устойчива ⇔ Φ_t₀(t) → 0 при t → +∞ ⇔ (ЛС) асимптотически устойчива в целом;

(в) (ЛС) экспоненциально устойчива ⇔ (M > 0, γ > 0) ∀ (t ≥ t₀) [||Φ_t₀(t)|| ≤ Me^–γ(^t^–^t⁰⁾] ⇔ (ЛС) экспоненциально устойчива в целом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть (ЛС) устойчива, т. е. устойчиво нулевое решение (ЛОС). Положив в определении устойчивости ε = 1, найдем δ > 0 такое, что

||x₀|| < δ ⇒ ||g_t₀^t(x₀)||= ||Φ_t₀(t)x₀|| < 1 (t ≥ t₀).

Следовательно, если ||x|| = 1, то ||δx/2|| < δ и

||Φ_t₀(t)x₀|| =

||Φ_t₀(t)(δx/2)|| <

Поэтому ||Φ_t₀(t)|| < 2/δ, т. е. Φ_t₀(t) ограничена.

Если, наоборот, известно, что

||Φ_t₀(t)|| ≤ H (t ≥ t₀),

то

||g_t₀^t(x₀)||≤ H||x₀||,

так что для любого ε > 0 в определении устойчивости нулевого решения (ЛОС) можно взять δ = ε/H.

(б) Пусть (ЛС) асимптотически устойчива. Тогда

||x₀|| < Δ ⇒ ||Φ_t₀(t)x₀|| → 0 при t → +∞.

В частности для орта e_k

||Φ_t₀(t)e_k|| =

2||e_k||

Φ_t₀(t)

(

e_k·

2||e_k||

)

→ 0 при t → +∞

(мы рассматриваем произвольную норму в Rⁿ, поэтому, возможно, ||e_k|| ≠ 1). Это означает, что все столбцы матрицы Φ_t₀(t) стремятся к нулю при t → +∞; но тогда и сама матрица стремится к нулю.

Пусть дано, что Φ_t₀(t) → 0 при t → +∞. Тогда для любого x₀ ∈ Rⁿ

g_t₀^t(x₀)= Φ_t₀(t)x₀ → 0 при t → +∞,

т. е. (ЛС) асимптотически устойчива в целом.

Наконец, из асимптотической устойчивости в целом следует асимптотическая устойчивость.

(в) Если (ЛС) экспоненциально устойчива, то существуют Δ₁ > 0, M > 0 и γ > 0 такие, что

||x₀|| < Δ₁ ⇒ ||Φ_t₀(t)x₀|| ≤ Me^–γ(^t^–^t⁰⁾||x₀|| (t ≥ t₀).

Поэтому для любого x, удовлетворяющего условию ||x|| = 1, будем иметь:

||Φ_t₀(t)x|| =

Δ₁

Φ_t₀(t)

(

x·

Δ₁

)

≤

Δ₁

Me^–γ(^t^–^t⁰⁾

x₀·

Δ₁

= Me^–γ(^t^–^t⁰⁾||x||.

Следовательно,

||Φ_t₀(t)|| ≤ Me^–γ(^t^–^t⁰⁾ (t ≥ t₀).

Наоборот, если выполнено последнее неравенство, то для любого x₀

||Φ_t₀(t)x₀|| ≤ ||Φ_t₀(t)||·||x₀|| ≤ Me^–γ(^t^–^t⁰⁾||x₀|| (t ≥ t₀),

т. е. (ЛС) экспоненциально устойчива в целом.

Остается заметить, что экспоненциальная устойчивость в целом влечет экспоненциальную устойчивость.

24) Непрерывное и дискретное представление процессов управления

25) Программы дискретных управляемых устройств

26) Правила перехода от непрерывной передаточной функции к дискретной

27) Типы систем управления

Система автоматического управления, как правило, состоит из двух основных элементов — объекта управления и управляющего устройства.

Содержание