Математическое обеспечение автоматизированного проектирования

Математическое обеспечение САПР включает математические модели объектов проектирования и их элементов, методы и алгоритмы выполнения проектных операций и процедур и решения задач оптимизации.

Под оптимальным понимают такое проектирование, цель которого состоит в создании технического объекта (ТО), не только выполняющего заданные функции, но и отвечающего некоторым заранее установленным критериям качества.

Поиск рационального технического решения при выбранном физическом принципе действия осуществляется методом структурного синтеза. Определение оптимальных значений параметров элементов технической системы известной структуры - задача параметрического синтеза или параметрической оптимизации.

Постановка задачи оптимизации имеет содержательный смысл только в том случае, когда появляется необходимость выбора одного из конкурирующих вариантов, полученных при ограниченности ресурсов. Техническое проектирование всегда ведется в условиях жестких ограничений на материальные, энергетические, временные и прочие виды ресурсов. Вместе с тем средства САПР позволяют выполнить разработку нескольких альтернативных вариантов. Поэтому окончательный выбор технического объекта (принятие решения) необходимо проводить на основании установленных критериев. Выбор критерия является одним из важных этапов постановки задачи оптимизации, так как все последующие действия направлены на поиск объекта, наиболее близкого к оптимальному по выбранному критерию.

В основе построения правила предпочтения лежит целевая функция, количественно выражающая качество объекта и потому называемая также функцией качества или критерием оптимальности. Формирование целевой функции всегда выполняется с учетом различных выходных параметров проектируемого устройства. В зависимости от содержательного смысла этих параметров и выбранного способа их сочетания в целевой функции качество объекта будет тем выше, чем больше ее значение (максимизация) или чем меньше ее значение (минимизация).

Проблема оптимизации имеет два основных аспекта:

1) нужно поставить задачу, формализовав понятие "оптимальный";

2) нужно решить задачу, уже имеющую математическую формулировку.

Математическая модель (ММ) оптимального проектирования технического объекта представляет собой формализованное описание критерия качества, условий, обеспечивающих выполнение заданных функций объектом, требований предъявляемых к отдельным параметрам объекта и др.

Именно в формировании ММ заключается постановка задачи оптимального проектирования ТО, которой предшествует определение цели и соответствующего критерия оптимизации. Например, при проектировании ТО цели оптимизации могут состоять в обеспечении: его минимальной массы; максимального КПД; минимальных размеров; максимальной надежности; минимальной стоимости изготовления; минимального количества расходуемого материала, топлива; максимальной грузоподъемности, производительности и др.

Каждой из перечисленных целей оптимального проектирования соответствует свой критерий оптимальности (масса, КПД, размеры). Критерии оптимальности выражают целевыми функциями f(x), представляющими собой математические зависимости их значений от параметров проектируемого технического объекта.

На первом этапе разработки математической модели оптимального проектирования выявляют параметры объекта, влияющие на критерий оптимальности, и определяют вид функциональной зависимости этих параметров. Далее определяют параметрические, дискретизирующие и функциональные ограничения, накладываемые на параметры технического объекта, для обеспечения им заданных функций.

Параметрическими называют ограничения вида:

x_i' ≤ x_i  ≤ x_i",

где  x_i - i-тый параметр технического объекта; x_i' и x_i" -соответственно min и max допустимые значения i-го параметра.

Дискретизирующие ограничения имеют вид:

x_j ={x_j1, x_j2,...,x_jm},

где x_j - j-тый параметр ТО; x_jk- допустимые значения j-го параметра (k=1,2,..m).

Эти ограничения накладывают на значение параметров либо в связи с их физической сущностью (например, число зубьев передачи), либо в связи с требованиями ГОСТов, отраслевых стандартов.

Функциональные ограничения, накладываемые на параметры объектов, представляют собой условия связи их значений. Эти ограничения имеют вид:

g_i(x)  ≤ 0; g_j(x)=0; g_k(x)<0.

Функциональными ограничениями при оптимальном проектировании технических объектов могут быть условия: прочности; жесткости; устойчивости; герметичности; срока службы. Эти условия обеспечивают желаемые значения тех или иных технических характеристик и экономических показателей. 

Определение ограничений является чрезвычайно ответственным этапом в процессе постановки и решения задач оптимального проектирования. Неучет каких-либо ограничений может привести к таким нежелательным эффектам, как преждевременный выход из строя ТО или низкое значение технико-экономических показателей и других характеристик объекта. Вместе с тем, избыточные ограничения повышают сложность модели, используемых алгоритмов и методов решения задач, а также увеличивают затраты машинного времени.

При постановке задач оптимального проектирования необходим анализ совместимости параметрических, дискретизирующих и функциональных ограничений. При этом, если окажется, что допустимое подпространство проектирования Д является пустым множеством, то следует пересмотреть ограничения и выявить противоречащие. Поиск оптимальных решений возможен, если Д содержит хотя бы две точки. Таким образом, задачу оптимального проектирования формулируют следующим образом. Найти такое x* , для которого f(x*)=min f(x), x Д. Найденное в результате решения задачи x* называют оптимальным решением, а f(x*)- оптимальным значением критерия оптимальности.