50 Основные характеристики законов распределения результатов измерений (моменты). Виды моментов, среднее арифметическое значение, среднее квадратическое значение, асимметрия, эксцесс, их свойства.

(Виды!мат.ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент асимметрии и эксцесс). Моменты– это средние значения и называются начальными, если усредняются величины, отсчитываемые от начала коорди-наты, и центральными – от центра функции плотности вероятности.Средняя арифметическая - такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Для того чтобы вычислить среднюю арифметическую, необходимо сумму всех значений признаков разделить на их число. свойства средней арифметической1.Если индивидуальные значения признака (варианты), уменьшить (увеличить) в n раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится во столько же.2.Если все варианты осредняемого признака уменьшить (увеличить) на число А, то средняя арифметическая соответственно изменится на это же число.3.Если вес всех осредняемых вариантов уменьшить (увеличить) в k раз, то средняя арифметическая не изменится.4.Сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна нулю. Другие виды средних величинСредняя квадратическая величина применяется тогда, когда вместо индивидуальных значений признака представлены квадраты исходных величин.Средняя геометрическая применяется в случаях определения средней по значениям, имеющим большой разброс, либо в случаях определения средней величины по относительным показателям.Средняя степенная. В математической статистике различные средние выводятся из формул степенной средней:При z = 1 — средняя арифметическая;z = 0 — средняя геометрическая;z = —1 — средняя гармоническая;z = 2 — средняя квадратическая.Чем выше z, тем больше значения средней величины.Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а также расчет показателей асимметрии и эксцесса.При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерениявычисляется относительный показатель асимметрии:

Его величина может быть положительной (для правосторонней асимметрии) и отрицательной (для левосторонней асимметрии).Применение данного показателя дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить ее наличие в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной. Если асимметрия меньше 0,25, она считается незначительной.Наличие асимметрии в генеральной совокупности проверяется с помощью определения оценки существенности на основе средней квадратической ошибки:

В случае, если  , асимметрия считается существенной и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично и неслучайно, а закономерно.Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса, который показывает, насколько резкий скачок имеет изучаемое явление. Показатель эксцесса определяется на основе центрального момента четвертого порядка по формуле:

Если показатель эксцесса больше нуля, то распределение островершинное и скачок считается значительным, если коэффициент эксцесса меньше нуля, то распределение считается плосковершинным и скачок считается незначительным. Среднеквадратическая ошибка эксцесса показывает, насколько существенен скачок в явлении и рассчитывается по формуле:

51 Числовые характеристики функционального распределения среднее арифметическое значение группы величин, среднее арифметическое интервального ряда, определение дисперсии, дисперсия выборки, среднее квадратическое отклонение интервала.

Прежде всего нас интересует положение случайной величины на числовой оси, т.е. ее систематическая составляющая - ее среднее значение, определяющее положение области, в которой группируется значения случайной величины.

Такое среднее значение случайной величины называется ее первым моментом или ее математическим ожиданием.

, (2.4)т.е. определяется как сумма произведений всех возможных значений дискретной случайной величины Х на вероятность этих значений Р.Для непрерывной случайной величины выражение для математического ожидания можно записать , (2.5)где P(X) - плотность распределения вероятностей случайной величины Х.В отличие от среднего арифметического значения, которое само является случайной величиной, т.к. зависит от испытаний, математическое ожидание является числом, которое связано только с законом распределения случайной величины.Начальный момент s-го порядка дискретной случайной величины запишется: Для непрерывной случайной величины: Иначе, математическое ожидание - это начальный момент первого порядка. Случайная погрешность (случайное отклонение) определяется зависимостью: Центральным моментом S-го порядка случайной величины называется математическое ожидание S степени соответствующей центрированной величины.

Из определения следует, что ₁ = 0, т.е. математическое ожидание первой степени центрированной случайной величины всегда = 0.

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины и характеризуется рассеяние значений случайной величины вокруг математического ожидания.₂[X] = D[X] = M[(X - M[X])²], Так как дисперсия имеет разность квадрата случайной величины, то она выражает как бы мощность ее рассеяния. Для наглядной характеристики самой величины рассеяния пользуются среднеквадратическим отклонением случайной величины Х, которое равно и имеет размерность самой случайной величины. Дисперсия (средний квадрат отклонений) имеет наибольшее применение в статистике как показатель меры колеблимости. Дисперсия - средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия является именованным показателем. Она измеряется в единицах соответствующих квадрату единиц измерения изучаемого признака. Дисперсия погрешности D (Х) характеризует степень рассеивания (разброса) отдельных значений погрешности относительно математического ожидания +  D (Х) =  х - М (Х)²  (х) d (х). - Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс, тем точнее выполнены измерения. Следовательно, дисперсия может служить характеристикой точности проведенных измерений. Однако дисперсия выражается в единицах погрешности в квадрате. Поэтому в качестве числовой характеристики точности измерений используют среднее квадратическое отклонение  (Х) =  D (Х).Оценку параметра назовем точечной, если она выражается одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому сама должна представлять собой случайную величину с распределением, зависящим от распределения исходной случайной величины, от самого оцениваемого параметра и от числа опытов n.