52 Интервальные оценки параметров распределения доверительный интервал, верхняя и нижняя доверительные границы, доверительная вероятность, уровень значимости.

Интервальный метод оценивания параметров распределения случайных величин заключается в определении интервала (а не единичного значения), в котором с заданной степенью достоверности будет заключено значение оцениваемого параметра. Интервальная оценка характеризуется двумя числами – концами интервала, внутри которого предположительно находится истинное значение параметра. Иначе говоря, вместо отдельной точки для оцениваемого параметра можно установить интервал значений, одна из точек которого является своего рода "лучшей" оценкой. Интервальные оценки являются более полными и надежными по сравнению с точечными, они применяются как для больших, так и для малых выборок..

Доверительный интервал для вероятности

Пусть случайная величина Х имеет только два возможных значения: 0 и 1. В результате проведения достаточно большого количества наблюдений эта случайная величина приняла единичное значение т раз. Необходимо при заданной надежности 1–  определить доверительный интервал для вероятности р, оценка которой соответствует частоте h = т/п.Оценка h вероятности р является состоятельной, эффективной и несмещенной. Если оцениваемая вероятность не слишком мала и не слишком велика (0,05< p <0,95), то можно считать, что распределение случайной величины h близко к нормальному. Этим допущением можно пользоваться, если пр и п(1–р) больше четырех. Параметры нормального распределения частоты т₁ = р, т₂ = р(1–р)/п (дисперсия  ₂ (m) количества успехов т составляет величину пр(1–р), а дисперсия частоты  ₂(m)/п²). Тогда по аналогии с определением доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной величины h можно записатьЕ = |h– p| = u _{1–  /2}( ₂(т) )^0,5 = u_{1–  /2}(р(1–р)/п)^0,5,где u _{1–  /2} – квантиль стандартизованного нормального распределения.Чтобы связать доверительный интервал с исходными параметрами n, h и u_{1–  /2}, возведем выражение для Е в квадрат, т. е. преобразуем равенство к виду (h–p)²=u²_1– /2(1–p)p/п. Доверительные границы можно получить, решив это уравнение второй степениp _{2, 1} ={nh + 0,5u²_{1–  /2}   u_{1–  /2} [nh(1–h) + 0,25u²_{1–  /2}]^0,5}/(п + u²_{1–  /2}). (4.7)С увеличением объема выборки (пh >200, nh(1–h)>200) такими слагаемыми как u²_{1–  /2}, 0,5u²_{1–  /2} и 0,25u²_{1–  /2} можно пренебречь, тогда приближенноp ₁ =h– u_{1–  /2} [h(1–h)/n]^0,5,p ₂ =h + u_{1–  /2} [h(1–h)/n]^0,5.(4.8)Более общие результаты получены с учетом того, что случайная величина h распределена по биномиальному закону [11] ,(4.9) где  – число сочетаний из n по k.Исходя из этого положения, для практического применения получены значения нижней р₁ и верхней р₂ доверительных границ

где  – квантиль распределения хи-квадрат уровня  с числом степеней свободы k.

Формулы (4.10) и (4.11) можно применять и в тех случаях, когда частость h события близка (равна) нулю или близка (равна) количеству экспериментов п соответственно. В первом случае НДГ р₁ принимается равной нулю и рассчитывается только ВДГ р₂. Во втором случае рассчитывается НДГ р₁, а верхняя граница р₂ =1.