4Курс_Автоматизац_Ч-1

Лекция № 3 Методы описания свойств элементов автоматики. Типовые звенья аср, характеристики

Вопросы, рассмотренные в лекции:

Математические характеристики элементов автоматики. Дифференциальные уравнения, передаточные функции, частотные характеристики. Понятия типовых звеньев систем регулирования и их характеристики. Типовые соединения звеньев.

Системы управления – это совокупность элементов, в которых происходят процессы различной физической природы. В системе одновременно могут иметься механические, электрические, пневматические и другие элементы, взаимодействующие между собой по соответствующим законам, при этом происходит преобразование одного вида энергии в другой.

Для расчета и исследований систем автоматического регулирования элементы системы должны быть представлены универсальными математическими характеристиками.

К ним относятся дифференциальные уравнения, передаточные функции, переходные функции (кривые разгона), частотные характеристики.

Дифференциальные уравнения. Для элемента (системы) с одним входным воздействием x(t) и одной выходной величиной y(t) линейное дифференциальное уравнение, описывающее его свойства, в общем виде представляется:

(3.1)

Выражение (3.1) называют уравнением динамики или уравнением движения элемента во времени. Параметры уравнения (a_iи b_i) зависят от конструкции элементов, масс перемещающихся частей, объемов, емкости и т.д.

Если в уравнении (3.1) все производные приравнять нулю, то получим статическую характеристику элемента (системы):

или где (3.2)

Расчет систем регулирования значительно упрощается, если использовать не дифференциальные уравнения элементов системы, а их передаточные функции.

Передаточная функция – это отношение выходной величины звена к входной при нулевых начальных условиях. При этом указанные величины выражены в операторной форме, т.е.

, (3.3)

Любую временную функцию y(t), x(t) можно преобразовать в ее изображение Y(p) и X(p) в пространстве Лапласа, где все функции зависят не от t, а от переменной p. В пространстве Лапласа дифференцирование во времени, например, области dy(t)/dt соответствует умножению на переменную р в пространстве Лапласа – pY(p). Аналогично d²y(t)/dt² =p²Y(p). В дальнейших математических преобразованиях оператор "р" рассматривается как алгебраический сомножитель, который можно выносить за скобки, сокращать и т.п.

Переходная функция. Математическое решение уравнения (3.1) описывает поведение выходной величины y(t) при заданном законе изменения входной величины x(t) и заданных начальных условиях. Среди множества решений большое практическое значение имеет ступенчатая переходная функция или кривая разгона – это реакция выходной величины элемента на ступенчатое единичное изменение входной x=1(t-t₀) при нулевых начальных условиях (рис. 3.1). Кривую разгона часто снимают экспериментально на действующем объекте управления. Обработка кривой разгона позволяет оценить статические и динамические свойства объекта регулирования, получить передаточную функцию.

Частотные характеристики. Важной характеристикой динамических свойств элемента (системы) является его реакция на гармонические синусоидальные воздействия. Частотные характеристики получают путем замены переменной "p" в пространстве Лапласа на мнимую частоту jw, здесь j=.

Типовые звенья систем регулирования

Несмотря на большое разнообразие элементов автоматики, можно выделить всего несколько типовых (элементарных) звеньев, с помощью которых представится возможным построение любых более сложных звеньев, встречающихся на практике.

Типовые звенья подразделяются на пропорциональные (усилительные), апериодические (инерционные), колебательные, интегрирующие, дифференцирующие и звено транспортного запаздывания.

Пропорциональное звено. Примерами может быть делитель напряжения, рычаг, механический редуктор, усилительный каскад и пр. Для этих звеньев справедлива пропорциональная зависимость между входной и выходной величиной:

, (3.4)

где k – коэффициент передачи (усиления).

Передаточная функция данного звена численно равна коэффициенту передачи:

(3.5)

Пример пропорционального звена и его характеристики показан на рис. 3.2.

Апериодическое звено первого порядка (рис. 3.3). Апериодическое звено описывается дифференциальным уравнением:

, (3.6)

где Т - постоянная времени;

k - коэффициент передачи.

Передаточная функция данного звена определяется выражением:

(3.7)

Примерами апериодического звена являются тепловой объект, где входом служит, например, расход топлива, а выходной величиной – температура. Другой пример – технологическая емкость со свободным истечением жидкости, здесь входной сигнал – расход поступающей жидкости, выходной – ее уровень в емкости.

Мерой инерционности звена является постоянная времени Т.

Амплитудно-фазовая характеристика звена представляется выражением:

(3.8)

Колебательное звено. Колебательное звено описывается уравнением второго порядка:

, (3.9)

где T₁и Т₂ – постоянные времени;

k – коэффициент передачи.

Из (3.9) следует передаточная функция звена:

.............. (3.10)

На рис. 3.4 приведены примеры физической реализации колебательного звена: а – колебательный контур с R,L,C параметрами и механическая система, включающая пружину и гидравлический демпфер (б).

Переходная функция (решение уравнения 3.9) может иметь апериодический (пунктирная линия на рис.3.4в) и колебательный вид (сплошная линия).

Амплитудно-фазовая частотная характеристика колебательного звена (рис. 3.4 г) отличается тем, что ее годограф захватывает отрицательную область вещественной оси координатного пространства.

Интегрирующее звено. Уравнение звена в интегральной форме имеет вид:

или в дифференциальной форме (3.11)

Перейдя к операторной форме, получим передаточную функцию:

Вышеприведенные уравнения справедливы для идеального интегрирующего звена.

В реальном интегрирующем звене присутствует некоторая инерционность, поэтому дифференциальное уравнение и передаточная функция реального интегрирующего звена имеют вид:

Примером реального интегрирующего звена может служить любой технологический сборник материала, где входной сигнал - поступление материала, а в качестве выходной величины принять его массу в сборнике.

На рис. 3.5 показаны основные характеристики интегрирующего звена.

Дифференцирующее звено. Выходная величина этого звена пропорциональна скорости изменения входной:

откуда передаточная функция имеет вид: . (3.12)

В общем случае уравнение реального дифференцирующего звена:

, (3.13)

откуда передаточная функция: . (3.14)

Звено транспортного (чистого) запаздывания. В отличие от предыдущих звеньев данное звено описывается уравнением с запаздывающим аргументом:

, (3.14)

где τ – время транспортного запаздывания.

Передаточная функция и АФЧХ звена имеют вид:

и . (3.15)

Графически амплитудно-фазовая характеристика представляется в виде окружности единичного радиуса с центром в начале координат.

Наличие в системе регулирования звена транспортного запаздывания значительно снижает качество регулирования, а иногда делает систему регулирования неустойчивой, что будет рассмотрено ниже.

Динамические характеристики типовых соединений звеньев.

В системах регулирования звенья могут соединяться в самых различных сочетаниях. Существует три основных вида соединений звеньев, комбинируя которые, можно прийти к любой сложной системе. К таким соединениям относятся: последовательное, параллельное и встречно-параллельное (охват звена обратной связью) соединения.

Структурные схемы различных соединений звеньев показаны на рис. 3.8.

В случае соединения двух звеньев имеем общие передаточные функции для случая "а" и "б" имеют вид:

Встречно-параллельное включение (рис. 3.8 в) часто именуют соединением с охватом звена обратной связью.

В этом случае передаточная функция общего звена представляется выражением:

При этом, в знаменателе ставится знак " + ", если обратная связь отрицательная и " - " при положительной обратной связи.

Для обеспечения устойчивости элементов автоматики и систем в целом применяют в основном отрицательные обратные связи.

Контрольные вопросы

Перечислите способы представления динамических характеристик элементов АСР.
Приведите в общем виде дифференциальное линейное уравнение для любого элемента АСР.
Объясните понятие передаточной функции элемента АСР, как на основе дифференциального уравнения получить передаточную функцию.
Поясните понятие переходной функции элемента автоматики.
Охарактеризуйте частотные характеристики элементов АСР.
Перечислите типовые звенья систем регулирования.
Характеристики пропорционального звена.
Приведите примеры апериодического звена первого порядка и его характеристики.
Представьте все динамические характеристики реального и идеального дифференцирующего звена.
Приведите характеристики колебательного звена.
Каким образом определяется коэффициент затухания колебательного звена.
Представьте динамические характеристики реального и идеального интегрирующего звена.

Литература к теме № 3: [1], [2], [6]

Содержание