2.2 Способы построения параболической гх вида

2.2.1 Алгебраический способ построения параболической ГХ.

Исходные данные: эталон воспроизводит только три значения измеряемого параметра Y₁, Y₂ и Y₃; им соответствуют три измеренных значения выходного сигнала градуируемой аппаратуры Х₁, Х₂ и Х₃.

На основании таких исходных данных может быть составлена система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными a, b и c в следующем виде:

(10)

Эта система имеет однозначное алгебраическое решение:

(11)

За оценку границ абсолютной погрешности аппаратуры с вновь построенной ГХ принимается максимальное из нормированных пределов абсолютной погрешности эталонов (либо , либо , либо ), если погрешностью измерений параметров выходного сигнала можно пренебречь, то есть выполняются все три неравенства:

; ;

Если погрешностью измерений параметров выходного сигнала пренебречь нельзя, то за оценку границ абсолютной погрешности аппаратуры с вновь построенной ГХ принимается максимальное из следующих значений:

, или , или .

2.2.2 Статистический способ построения параболической ГХ.

Исходные данные: эталон воспроизводит более трёх значений измеряемого параметра, например, для n значений Y₁, Y₂ , Y₃ …и Y_n; им соответствуют n измеренных значений выходного сигнала градуируемой аппаратуры Х₁, Х₂, Х₃… и Х_n.

На основании таких исходных данных может быть составлена система n линейных уравнений с тремя неизвестными , и в следующем виде:

;

; (12)

;

…

.

Эта система уравнений решается сглаживанием по методу наименьших квадратов. На её основе составляют новую систему из трех нормальных уравнений с тремя неизвестными a, b и c. Нормальные уравнения получают по следующему правилу.

Первое нормальное уравнение получим в результате суммирования левой и правой частей системы (12) с последующим умножением обоих частей на сумму квадратов всех измеренных значений выходного сигнала Х.

Второе уравнение получим в результате суммирования левой и правой частей этой системы после умножения каждого уравнения на коэффициент при неизвестном b с последующим умножением обоих частей на сумму всех измеренных значений выходного сигнала Х.

Третье уравнение получим в результате суммирования левой и правой частей этой системы после умножения каждого уравнения на коэффициент при неизвестном с.

В итоге получим следующую новую систему из трех уравнений

;

; (13)

.

В результате решения системы (13) найдем коэффициенты параболической ГХ a, b и c, вычисляемые по формулам (16), приведенным на стр. 18.

Если полученные коэффициенты a, b и c подставить в систему (12), то получим совокупность измеренных значений Y_1изм, Y_2им , Y_3изм …и Y_nизм при тех же самых значениях выходных сигналов. Для каждого из них найдем оценку систематической абсолютной погрешности по формуле (7).

За оценку границ абсолютной погрешности аппаратуры с вновь построенной параболической ГХ принимается статистическая сумма максимального значения полученной оценки систематической погрешности и нормированного предела (или границы) абсолютной погрешности того эталона, который имеет наибольшие пределы (или границы) погрешности

. (14)

Если предел относительной погрешности средства измерений выходного сигнала более 0,3 относительной погрешности эталона, то используется формула

. (15)

Следует отметить, что количество эталонов, применяемых для градуировки геофизических средств измерений, редко может превысить четырех или пяти. Следовательно, в системе (12) будет такое же количество уравнений. Для скважинной геофизической индивидуально градуируемой аппаратуры все рассмотренные способы построения градуировочных характеристик применимы.

Вид параболической градуировочной характеристики геофизической аппаратуры,

построенной с использованием методики наименьших квадратов

_;

_{; (16)}

_.