Михайлов / 1 - Временные характеристики

Определение параметров типовых динамических звеньев по их временным характеристикам

При математическом анализе систем автоматического управления, в первую очередь представляет интерес тип дифференциального уравнения и его коэффициенты, а не принцип действия или конструкция данного элемента.

Любая сложная система автоматического управления (САУ) состоит из простых устройств звеньев (Рис. 1 .1), элементов, которые, как и всю САУ, можно представить в виде математических моделей, то есть дифференциальными уравнениями, связывающими выходные сигналы с входными.

Рис. 1.1. Отображение толщины штриха линейных кодов с разной плотностью на рабочей поверхностиматрицы фоточувствительных элементов

(1.1)

где y(t) ‑ сигнал на выходе звена;

x(t) ‑ сигнал на входе звена.

Для физически реализуемых систем всегда m≤n.

В дальнейшем будем считать, что x(t) ≡ 0 приt< 0, а начальные условия в системе нулевые, т.е.

В операторной форме уравнение ( 1 .1) можно привести к виду:

(1.2)

где ‑ оператор дифференцирования.

Если полиномы в скобках обозначить через , то дифференциальное уравнение ( 1 .2) можно записать более компактно:

(1.3)

Если преобразовать временные переменные по Лапласу, то уравнение ( 1 .3)можно записать в преобразованном виде:

(1.4)

где X(p) иY(p) ‑ изображения Лапласа отx(t) иy(t);

p ‑ комплексная переменная.

Из уравнения ( 1 .4) имеем:

(1.5)

Выражение ( 1 .5) позволяет определить изображение Y(р) сигнала на выходе системы по изображениюX(p) входного сигнала, умноженному на некоторый операторW(p), называемый передаточной функцией. Таким образом, передаточная функция представляет собой отношение изображения Лапласа выходного сигнала к изображению Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях:

Передаточная функция и дифференциальное уравнение являются равнозначными характеристиками динамического звена. Сигнал y(t) определяется либо из решения дифференциального уравнения ( 1 .1), либо из выражения ( 1 .5):

На практике наибольший интерес представляет реакция звена на один из типовых сигналов.

Для расчетов САУ широкое применение получила так называемая переходная характеристика, представляющая собой реакцию системы на единичный ступенчатый сигнал 1(t) (Рис. 1 .2) и обозначаемаяh(t):

Рис. 1.2. Общий вид переходной характеристики звена

Изображение Лапласа единичного ступенчатого сигнала:

Тогда

(1.6)

Содержание