Кинематический анализ механизма манипулятора.

    Первая и основная задача кинематики – определение функции положения. Для пространственных механизмов наиболее эффективными методами решения этой задачи являются векторный метод и метод преобразования координат. При решении прямой задачи о положении схвата манипулятора обычно используют метод преобразования координат. Из множества методов преобразования координат [ 1, 2 ] , которые отличаются друг от друга правилами выбора осей локальных систем координат, для манипуляторов обычно используется метод Денавита и Хартенберга.     Опишем два вида матриц: матрицы М, определяющие отношение между системами координат соседних звеньев; матрицы Т, определяющие положение и ориентацию каждого звена механизма в неподвижной или базовой системе координат.     Воспользуемся однородными координатами трехмерного проективного пространства РR³, в которых движение евклидова пространства R³ можно представить линейным преобразованием

где М_ij – матрица 4x4 вида .

    Это преобразование эквивалентно преобразованию в эвклидовом пространстве где . То есть преобразованию, которое включает поворот, определяемый матрицей U_ij размерностью 3х3, и параллельный перенос, задаваемый вектором размерностью 3. В однородном пространстве положение точки будут определять не три x, y и z, а четыре величины x', y', z' и t', которые удовлетворяют следующим соотношениям:

x = x'/t', y = y'/t', z = z'/t'.

    Обычно принимают t'=1. У матрицы поворота U_ij элементами u_ij являются направляющие косинусы углов между новой осью i и старой осью j. Вектор - трехмерный вектор, определяющий положение начала новой системы координат i в старой системе j. Выбор расположения осей должен соответствовать решаемой задаче. При решении задачи о положениях необходимо: в прямой задаче определить положение выходного звена как функцию перемещений в приводах, в обратной – заданное положение выходного звена представить как функцию перемещений в приводах. Выбор расположения и ориентации локальных систем координат должен обеспечивать выполнение этих задач. При использовании метода Денавита и Хартенберга оси координат располагаются по следующим правилам:

    1. Для звена i ось z_i направляется по оси кинематической пары, образуемой им со звеном ( i+1). Начало координат размещают в геометрическом центре этой пары.     2. Ось x_i направляется по общему перпендикуляру к осям z_i-1 и z_i с направлением от z_i-1 к z_i. Если оси z_i-1 и z_i совпадают, то x_i перпендикулярна к ним и направлена произвольно. Если они пересекаются в центре кинематической пары, то начало координат располагается в точке пересечения, а ось x_i направляется по правилу векторного произведения (кратчайший поворот оси z_i до совмещения с z_i-1 при наблюдении с конца x_i должен происходить против часовой стрелки).     3. Ось y_i направляется так, чтобы система координат была правой.

    В прямой задаче необходимо определить положение схвата манипулятора и связанной с ним системы координат Mx_ny_nz_n по отношению к неподвижной или базовой системе координат Kx₀y₀z₀. Это осуществляется последовательными переходами из системы координат звена i в систему координат звена i-1. Согласно принятому методу, каждый переход включает в себя последовательность четырех движений: двух поворотов и двух параллельных переносов, осуществляемых в указанной последовательности (см. рис. 20.1):

• поворот i-ой системы вокруг оси x_i на угол -_i до параллельности осей z_i и z_i-1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора x_i против часовой стрелки);

• перенос вдоль оси x_i на величину -a_i до совмещения начала системы координат O_i с точкой пересечения осей x_i и z_i-1 (отсчет по оси x_i от точки пересечения оси x_i и оси z_i-1);

• перенос вдоль оси z_i-1 на величину -s_i, после которого начало системы координат O_i оказывается в начале координат O_i-1 системы (i-1) (отсчитывается по оси z_i-1 от ее начала координат O_i-1 до точки ее пересечения с осью x_i);

• поворот вокруг оси z_i-1 на угол -_i, до тех пор пока ось x_i не станет параллельной оси x_i-1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора z_i-1 против часовой стрелки).

    Необходимо отметить, что знак угла поворота не имеет значения, так как в матрицах перехода используются направляющие косинусы (четные функции). Целесообразно рассматривать угол, обеспечивающий кратчайший поворот оси старой системы i до совмещения (параллельности) с соответствующей осью новой ( i-1). Перемещения начала координат определяются как координаты начала старой системы O_i в новой O_i-1.     В манипуляторах обычно используются одноподвижные кинематические пары или вращательные, или поступательные. Оба относительных движения как вращательное , так и поступательное, реализуются в цилиндрических парах. Поэтому при общем представлении механизма используются (рис.20.1) цилиндрические пары.     Матрицы перехода их системы O_i в систему O_i-1 можно записать так:

,

    В этих матрицах переменные s_i и _i соответствуют относительным перемещениям звеньев в кинематических парах и являются обобщенными координатами манипулятора, определяющими конфигурацию механизма в рассматриваемом положении. Переменные a_i и _i определяются конструктивным исполнением звеньев манипулятора, в процессе движения они остаются неизменными.     Положение некоторой произвольной точки М в системе координат звена i определяется вектором r_Mi, а в системе координат звена (i-1) – вектором r_Mi-1. Эти радиусы связаны между собой через матрицу преобразования координат М_i следующим уравнением:

,

    Рассмотрим шестиподвижный манипулятор в исходном или начальном положении (рис.20.2). За начальное положение принимается такое, в котором все относительные обобщенные координаты равны нулю. Переход из системы координат любого i–го звена к неподвижной или базовой системе записывается в виде

или ,

где - матрица преобразования координат i–ой системы в координаты базовой системы координат.

Для схемы, изображенной на рис.20.2, радиус r_M6 = 0, а радиус r_M0 определится по формуле

,

то есть положение выходного звена манипулятора определяется матрицей Т_n. Элементы этой матрицы определяют положение центра схвата точки М и ориентацию его в пространстве. Четвертый столбец определяет, декартовы координаты точки М (проекции вектора r_M0на оси координат). Третий столбец содержит направляющие косинусы оси z_n системы координат, связанной со схватом, или вектора подхода , который характеризует направление губок схвата (рис.20.3). Второй столбец определяет направление оси y_n или вектора ориентации , который проходит через центр схвата по оси перпендикулярной рабочим поверхностям его губок. В первом столбце содержатся направляющие косинусы оси x_n или вектора . Углом подхода схвата называется угол между вектором подхода и базовым вектором

,

где - орт вектора неподвижной или базовой системы координат. С учетом сказанного, матрица T_nможет быть представлена в следующем виде

    В результате матричных преобразований получаем радиус-вектор точки М схвата в функции обобщенных координат. Обычно, за обобщенные координаты принимают линейные и угловые перемещения в кинематических парах или на выходных валах приводов манипулятора. В механизме с n подвижностями в общем виде функцию положения схвата можно записать так

где q₁, q₂, … q_n – обобщенные координаты манипулятора.

    При кинематическом анализе манипулятора в прямой задаче необходимо определить линейные и угловые скорости и ускорения схвата при заданных угловых и линейных обобщенных скоростях и ускорениях (обычно относительных скоростях и ускорениях в кинематических парах механизма). В обратной задаче по заданному закону изменения скоростей и ускорений схвата определяются законы изменения скоростей и ускорений в КП или на выходных звеньях приводов. Решение прямой задачи кинематики для точки М схвата можно получить продифференцировав четвертый столбец матрицы Т_n по времени

    Угловую скорость и угловое ускорение схвата можно определить векторным суммированием относительных угловых скоростей во вращательных КП механизма. Так как вектора угловых скоростей, при данном выборе ориентации осей координат, совпадают с осью z, то угловая скорость схвата

где орт оси z системы координат, расположенной в центре КП, соединяющей звено i и звено i-1, m – число вращательных КП в механизме.

    Дифференцируя это выражение по времени, получим формулу для определения углового ускорения схвата: