2.2 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью теоремы об изменении кинетической энергии

Для составления дифференциального уравнения движения механической системы с одной степенью свободы применим теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме

(12)

где Т - кинетическая энергия системы; - сумма мощностей внешних сил; - сумма мощностей внутренних сил.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, образующих механическую систему

Т = Т₀+Т₁₊Т₂+Т₃+Т₄,

где - кинетическая энергия кривошипа ОА, совершающего вращательное движение вокруг оси Oz;

- кинетическая энергия шатуна АB, совершающего плоское движение;

- кинетическая энергия шатуна KD, совершающего плоское движение;

- кинетическая энергия кривошипа О₁D, совершающего вращательное движение вокруг оси O₁z;

- кинетическая энергия ползуна B, который движется поступательно.

Моменты инерции сплошных однородных стержней, составляющих механизм, относительно осей проходящих через их центры масс равны

Подставляя всё в выражение кинетической энергии системы, окончательно получаем:

(13)

где (14)

- приведенный момент инерции механизма, а величины, (k = 1,4) - скорости точек механизма, отнесенные к угловой скорости ведущего звена

Для рассматриваемой механической системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных идеальными шарнирами сумма мощностей внутренних сил равна нулю.

Сумма мощностей внешних сил будет равна

где, , , мощности сил тяжести звеньев; - мощность момента приводящего механизм в движение; - мощность полезной нагрузки.

Мощности сил,равны нулю, т.к. реакция опорной плоскости Y_П и сила тяжести перпендикулярна скорости точки B, а остальные силы приложены к неподвижным точкам.

Учитывая выражения для движущего момента М_Д и полезной нагрузки, окончательно получим

(15)

где (16)

- приведенный момент внешних сил, а величины и равны

Подставляя найденные выражение кинетической энергии (13) и мощности внешних сил (15) в теорему об изменении кинетической энергии (12), получим дифференциальное уравнение движения механизма

(17)

где - производная момента инерции механизма по углу поворота ведущего звена.

Решив данное дифференциальное уравнение второго порядка с указанными в задаче начальными условиями, найдем закон движения ведущего звена, его угловую скорость и угловое ускорение.