3.3 Приближенное решение уравнений Навье - Стокса

Численные методы решения системы уравнений (3.3) - (3.4) приведены в [21]. Однако их практическая реализация вызывает определенные трудности по причине отсутствия граничных условий для функции на твердых поверхностях. В данной работе приведено приближенное решение задачи, в котором использован метод, обычно называемый методом последовательных приближений.

Выбирая “нулевое” приближение , находим из (3.4)

(3.5)

из (3.3) получаем уравнение для нахождения более точного приближения:

(3.6)

Интегрирование производим в области, заимствованной из работы [10] и показанной на рисунке 3.1

Решение, приведенное в этой работе, условно принимаем за точное решение.

Рисунок 3.1 - Область интегрирования

В качестве “нулевого" приближения выбираем функцию

, (3.7)

где С - безразмерный коэффициент. Приводя ее к безразмерному виду, получаем

. (3.8)

На рисунке 3.2 показаны линии уровня для начального приближения функции тока.

Рисунок 3.2 - Линии уровня

В этой формуле штрихи у безразмерных величин и индекс “ж” для удобства записи опущены. Легко видеть, что , если , т.е. на большей части границы области.Подставляя (3.8) в (3.5), находим

, (3.9)

причем , если , т.е. на оси симметрии и на свободной поверхности жидкости, что соответствует [10].

На рисунке 3.3показаны линии уровня для начального приближения вихря скорости.

Рисунок 3.3 - Линии уровня

Подставляя (3.9) в (3.6) находим:

(3.10)

Для удобства записи перепишем уравнение (3.10) в форме:

, (3.11)

где A (r,z), B (r,z), C (r,z) - известные функции;

Re турбулентный аналог числа Рейнольдса.

Заменим исходную функцию сеточной функцией [22, 23]:

,

i=0. N-1;

J=0. M-1;

;

.

Заменим производные разностными отношениями:

; (3.12)

. (3.13)

Подставляя (3.12), (3.13) в (3.11) получаем:

. (3.14)

Выражая из (3.14) получим:

. (3.15)

Учитывая, что на границе области функция тока равна нулю получаем начальные условия, которые необходимы для решения (3.15):

; (3.16)

. (3.17)

Данная схема имеет первый порядок аппроксимаций по координатам r,z и устойчива при 1.