1.3 Описание математической модели объекта

Температура по ходу движения термоэластопласта для качественного ведения процесса формования деталей низа обуви определяется технологическим регламентом термообработки термоэластопласта в экструдере. Прежде всего, необходимо плавное нарастание температур вдоль экструдера, не допустим перегрев полимера, при котором может произойти разрушение молекулярной структуры эксгрудата (явление деструкции).

Желаемое распределение температурного поля в термоэластопласте вдоль экструдера не всегда удается обеспечивать и тем более поддерживать стабильно по целому ряду причин. Во-первых, из-за сложности тепловых явлений в экструдере, которые сопровождаются изменением агрегатного состояния термоэластопласта, его теплофизических (удельная теплоемкость) и реологических (вязкость) характеристик, а также из-за тепловых взаимовлияний между тепловыми зонами и отдельными элементами экструдера (стенкой, полимером и червяком). Во-вторых, тепловая энергия поступает в термоэластопласт не только от нагревателей, но и выделяется внутри термоэластопласта в результате внутреннего трения, причем в зависимости от реологического состояния термоэластопласта внутреннее тепловыделение не одинаково. Поэтому уже по этой причине для изучения динамики тепловых процессов в экструдере требуется математическое моделирование процесса, тем более что число нагревателей фиксированное и, следовательно, возможности формирования температурных полей ограничены вообще и с точки зрения исключения явления деструкции в частности.

Сложность тепловых явлений в экструдере и наличие возмущений процесса термообработки полимера, с одной стороны, и высокие требования к качеству формуемых деталей -- с другой, определило необходимость использования регуляторов с целью стабилизации температуры полимера на выходе из экструдера в целом [2].

Работа регуляторов оказывает влияние на все режимы работы экструдеров, в том числе и на динамику тепловых процессов в экструдере. С учетом изложенного задачи моделирования тепловых процессов в экструдере как таковом и моделирования тепловых процессов в нем при работе совместно с регуляторами являются весьма важными.

При описании математической модели процессов, протекающих в экструдере, необходимо рассматривать данный процесс как совокупность тепловых процессов, происходящих в термоэластопласте, стенке гильзы экструдера и в шнеке. По характеру физических процессов, протекающих на каждом участке червяка, его разделяют на три физические зоны: зона загрузки -- участок, в котором материал движется в виде нерасплавленного сухого спрессованного стержня; переходная зона -- участок, в котором на поверхности контакта материала с гильзой образуется, за счет плавления материала, пленка расплава, высота которой постепенно увеличивается и далее почти полностью происходит плавление материала; зона дозирования -- участок, в котором материал движется в вязкотекучем состоянии. Поэтому рассмотрим каждый процесс в отдельной зоне экструдера.

Рассмотрение задачи регулирования тепловых режимов в экструдере начинается с составления уравнений элементов агрегата. Динамики нагрева термоэластопласта в каждой зоне экструдера описывается уравнением вида [2]:

, (1.1)

где T_ст.ср. - осредненная температура стенки гильзы экструдера;

Т_пл.ср. - осредненная температура полимера;

Т_пл.шн. - осредненная температура поверхности шнека;

Т_шн.ср. - осредненная температура шнека;

Т_пл.вх. - температура полимера на входе в i-ю тепловую зону.

, (1.2)

где p_i - плотность полимера;

с_i - удельная теплоемкость полимера;

S_i - площадь поперечного сечения экструдера, заполненного полимером;

L_i - длина i-й тепловой зоны;

G - массовый расход полимера;

k_тп.ст.i - коэффициент теплопередачи через стенки экструдера.

, (1.3)

где k_тп.шн.i - коэффициент теплопередачи через шнек экструдера:

Коэффициенты влияния полимера, шнека, стенок на теплопередачу:

, (1.4)

, (1.5)

, (1.6)

, (1.7)

При построении математической модели тепловых процессов в стенке гильзы экструдера будем считать, что на тепловое состояние стенки оказывают влияние нагреватели, расположенные на внешней поверхности гильзы экструдера, термоэластопласт, перемещающийся внутри экструдера, а также тепловое состояние стенок соседних зон.

Необходимо также учесть следующее обстоятельство. Обычно в тепловых объектах имеют место эффекты, близкие к эффектам запаздывания. Однако если при рассмотрении теплообмена между стенкой и термоэластопластом, термоэластопластом и шнеком тепловые процессы возможны в двух направлениях, то в случае теплообмена между нагревателями и стенкой тепловые процессы распространяются в одном направлении - от нагревателя к стенке и поэтому эффект чистого запаздывания выражается более четко. В связи с этим в уравнение динамики тепловых процессов следует ввести функцию запаздывания. Тогда с учетом изложенного уравнение динамики тепловых процессов в стенке гильзы экструдера имеет вид [2]:

, (1.8)

где Т_стi - постоянная времени объекта;

k_н.ст.i - коэффициент передачи объекта на участке «нагреватель - стенка», принимаем k_н.ст.i = 1;

р - оператор Лапласа.

При построении математической модели тепловых процессов, протекающих в шнеке экструдера в пределах одной тепловой зоны, следует иметь в виду, что нагревание и охлаждение происходят в зависимости от изменения температуры термоэластопласта, перемещающегося в канале шнека. Кроме того, на тепловые процессы в шнеке в пределах тепловой зоны оказывают влияние тепловые процессы, протекающие в соседних зонах.

Уравнение динамики тепловых процессов в шнеке будет иметь вид [2]:

, (1.9)

где Т_шн.i - постоянная времени объекта;

k_пл.шн.i - коэффициент передачи между полимером и шнеком;

k_шн.i-1,i - коэффициент передачи между участками шнека предыдущей и данной тепловых зон (для первой тепловой зоны этот коэффициент равен нулю);

k_шн.i+1,i - коэффициент передачи между участками шнека последующей и данной тепловых зон;

р - оператор Лапласа.

На основании уравнений динамики тепловых процессов для стенки, термоэластопласта и шнека можно составить математическую модель тепловой зоны, а затем математическую модель всего экструдера как систему моделей тепловых зон.

Объединив уравнения, описывающие динамику тепловых процессов в стенке, термоэластопласте и шнеке для некоторой i-ой тепловой зоны, получим модель тепловой зоны:

(1.10)

При дальнейшем упрощении, с учетом опытных данных, полученных при анализе работы экструдера ШР-20, имеющем три однотипные тепловые зоны, получаем математическую модель системы автоматического регулирования температуры в тепловой зоне экструдера [2]:

, (1.11)

где T_cт - постоянная времени объекта;

k_н.ср. - коэффициент передачи объекта (нагреватель-стенка);

ДТ_ст.ср. - отклонение средней температуры стенки в тепловой зоне;

ДJ - изменение значения силы тока на выходе регулятора;

ф_ст - время чистого запаздывания;

F(t) - суммарное возмущение, действующее на объект (возмущение по расходу, текущие возмущения, возмущение, эквивалентное неточности математической модели системы автоматического регулирования).

Таким образом, передаточная функция объекта управления (тепловой зоны) будет иметь вид:

(1.12)

Выполним аппроксимирующую замену, используя выражения (1.13), и получим приближенное выражение передаточной функции объекта регулирования (1.14):

(1.13)

(1.14)

Исходя из передаточной функции объекта регулирования, можно сказать, что необходим регулятор с ПД или ПИД законом регулирования для уменьшения инерционности системы (т.к. необходима дифференциальная составляющая для уменьшения инерционности). Лучше использовать регулятор с ПИД законом регулирования, т.к. он обеспечивает лучшую точность за счет появления апериодической составляющей.

Уточнение закона регулирования и определение оптимальных параметров настройки регулятора будут произведены в процессе расчета системы автоматического управления.