Надежность технической системы
2.2 Преобразование заданной структурной схемы и определение показателей надёжности
Структурная схема надежности приведена на рисунке. Значения интенсивности отказов элементов даны в 1/ч:
л1 = л13 = л14 =л15 =0,01
л2 = л3 = л8 = л9 =0,2
л4 =0,1
л5 = л6 =0,3
л7 =0,5
л10 = л11 = л12 =1
г = 75 %
Рисунок 4 - Исходная схема системы
Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с «1» по «15» (рисунок ) подчиняются экспоненциальному закону:
(2.4)
где рi - вероятность безотказной работы Я - го элемента;
лЯ - интенсивность отказов Я - го элемента;
t - время наработки.
В исходной схеме элементы «5» и «6» образуют последовательное соединение, которое заменяем квазиэлементом «А». Так как р5 = р6 , то для определения вероятности безотказной работы элемента «А» получим:
(2.5)
где рА - вероятность безотказной работы элемента «А»;
р5 - вероятность безотказной работы элемента «5».
Р6 - вероятность безотказной работы элемента «6».
Элементы «10», «11» и «12»образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом «B». Так как р10 = р11= р12, то для определения вероятности безотказной работы элемента «В» получим:
(2.6)
где рB - вероятность безотказной работы элемента «B»;
QB - вероятность отказа элемента «B»;
q10 - вероятность отказа элемента «10»;
q11 - вероятность отказа элемента «11»;
q12 - вероятность отказа элемента «12»;
р10 - вероятность безотказной работы элемента «10».
Элементы «13», «14» и «15» образуют последовательное соединение. Заменяем их квазиэлементом «С». Так как р13 = р14= р15, то для определения вероятности безотказной работы элемента «С» получим:
(2.7)
где рС - вероятность безотказной работы элемента «С»;
р13 - вероятность безотказной работы элемента «13»;
р14 - вероятность безотказной работы элемента «14»;
р15 - вероятность безотказной работы элемента «15».
Элементы «4», «7» и квазиэлемент «А» образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом «D».
. (2.8)
где рD - вероятность безотказной работы элемента «D»;
QD - вероятность отказа элемента «D»;
q4 - вероятность отказа элемента «4»;
qА - вероятность отказа элемента «А»;
q7 - вероятность отказа элемента «7»;
р4 - вероятность безотказной работы элемента «4»;
рА - вероятность безотказной работы квазиэлемента «А»;
р7 - вероятность безотказной работы элемента «7»;
После преобразований промежуточная схема изображена на рисунке 5
Рисунок 5 - Промежуточная схема
Элементы «2», «3», «8», «9» и квазиэлемент «D» образуют мостиковую систему, которую можно заменить квазиэлементом «Е».
Для расчёта вероятности безотказной работы воспользуемся матодом разложения относительно особого элемента. В качестве особого элемента выберем квазиэлемент «D», тогда
(2.9)
где - вероятность безотказной работы мостиковой схемы при абсолютно надежном элементе «D» (рис а);
- вероятность безотказной работы мостиковой схемы при отказавшем элементе «D» (рис. б).
(а) (б)
Рисунок 6 - Преобразование мостиковой схемы
; (2.10)
; (2.11)
.(2.12)
После преобразованья схема изображена на рисунке 7
Рисунок 7 - Преобразованная схема
В преобразованной схеме (рисунок 7 ) элементы «p1», «Е» «B» и «С» образуют последовательное соединение. Тогда вероятность безотказной работы всей системы:
(2.13)
Рассчитаем вероятности элементов и вероятность безотказной работы всей системы по формулам (2.1)-(2.10).
При наработке t = 0,4·106 ч.:
При наработке t = 0,6·106 ч.:
При наработке t = 0,8·106 ч.:
При наработке t = 1·106 ч.:
При наработке t = 1,5·106 ч.:
При наработке t = 2·106 ч.:
При наработке t = 2,5·10 ч.:
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов с «1» по «15» исходной схемы по формуле (2.1) для наработки до 2,5106 часов представлены в таблице 1.
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов «A», «B», «C», «D», «Е» и всей системы также представлены в таблице 1.
На рисунке представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы «P» от времени (наработки) t.
По графику (рисунок, кривая P) находим для () - процентную наработку системы ч.
Проверочный расчет при ч показывает (таблица 1), что.
По условиям задания повышенная - процентная наработка системы ч.
Расчет показывает (таблица 1), что при ч для элементов преобразованной схемы, изображенной на рисунке p1=0,987416, pЕ=0,900587, pB=0,629616 ,pC=0,962721, P=0,53902. Следовательно, из последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет квазиэлемент «В», и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.
Для того чтобы при ч система в целом имела вероятность безотказной работы, необходимо, чтобы квазиэлемент «В» имел вероятность безотказной работы (см. формулу (2.13))
(2.14)
где - вероятность безотказной работы элемента «В»;
- вероятность безотказной работы системы, 0,75.
Очевидно, значение, полученное по формуле (2.14), является минимальным для выполнения условия увеличения наработки не менее, чем в полтора раза, при более высоких значениях увеличение надежности системы будет большим.
Для определения минимально необходимой вероятности безотказной работы элементов c 10 по 12 (рисунок ) необходимо решить уравнение относительно при.
Так как по условиям задания все элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и подчиняются экспоненциальному закону (2.), то для элементов с «10» по «12» при ч находим:
где - интенсивность отказов элементов «10», «11», «12».
Рассчитаем вероятности безотказной работы данных элементов, квазиэлемента «В?» и всей системы «P?» при разной наработке.
При наработке t = 0,4·106 ч.:
При наработке t = 0,6·106 ч.:
При наработке t = 0,8·106 ч.:
При наработке t = 1·106 ч.:
При наработке t = 1,5·106 ч.:
При наработке t = 2·106 ч.:
При наработке t=2,5·106
Таким образом, для увеличения - процентной наработки системы необходимо увеличить надежность элементов «10», «11», «12» и снизить интенсивность их отказов с 1 до 0,4·10-6 ч, т.е. в 2,5 раза. Результаты расчетов для системы с увеличенной надежностью элементов «10», «11», «12» приведены в таблице 1. Там же приведены расчетные значения вероятности безотказной работы квазиэлемента «В`» и системы в целом «P`». При t=1,275·106 ч вероятность безотказной работы системы , что соответствует условиям задания. График приведен на рисунке.
Для второго способа увеличения вероятности безотказной работы системы - структурного резервирования - по тем же соображениям (см. выше) также выбираем квазиэлемент «В», вероятность безотказной работы которого после резервирования должна быть не ниже (см. формулу (2.14)).
Для элемента «В» - резервирование означает увеличение общего числа элементов. Аналитически определить минимально необходимое количество элементов невозможно, т.к. число элементов должно быть целым и функция дискретна.
Для повышения надежности системы «В» добавляем к ней элементы, идентичные по надежности исходным элементам «10», «11», «12», до тех пор, пока вероятность безотказной работы квазиэлемента «В» не достигнет заданного значения.
Для расчета воспользуемся комбинаторным методом:
- добавляем элемент «16», получаем систему из 4 параллельно соединенных элементов:
- добавляем элементы «17,18» получаем систему из 6 параллельно соединенных элементов:
- добавляем элемент «19» получаем систему из 7 параллельно соединенных элементов:
Таким образом, для повышения надежности до требуемого уровня необходимо в исходной схеме (рисунок 1) систему 3 параллельных элементов достроить элементами «16-19» до системы из 7 параллельных элементов (рисунок ).
Рисунок 8 - Структурная схема системы после структурного резервирования
Тогда, вероятность безотказной работы квазиэлемента «В??» и вероятность безотказной работы всей системы:
При наработке t = 0,4·106 ч. равна:
При наработке t = 0,6·106 ч.:
При наработке t = 0,8·106 ч.:
При наработке t = 1·106 ч.:
При наработке t = 1,5·106 ч.:
При наработке t =2·106 ч.:
При наработке t =2,5·106 ч.:
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлемента «В``» и системы в целом «P``» представлены в таблице 1.
Расчеты показывают, что при ч. , что соответствует условию задания.
"right">Таблица 1Расчет вероятности безотказной работы системы
Элемент |
лx10-6 ч-1 |
Наработка t*106 ч |
|||||||
0.4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
|||
1,13,14,15 |
0.01 |
0.996035 |
0.994058 |
0.992085 |
0.990117 |
0.985212 |
0.980331 |
0.975474 |
|
2,3,8,9 |
0.2 |
0.923615 |
0.887639 |
0.853064 |
0.819836 |
0.742321 |
0.672132 |
0.608581 |
|
4 |
0.1 |
0.961049 |
0.942146 |
0.923613 |
0.905448 |
0.861581 |
0.819836 |
0.780116 |
|
5,6 |
0.3 |
0.887639 |
0.836285 |
0.787903 |
0.742321 |
0.639567 |
0.551038 |
0.474763 |
|
7 |
0.5 |
0.819836 |
0.74232 |
0.672132 |
0.608581 |
0.474763 |
0.370372 |
0.288932 |
|
10,11,12 |
1 |
0.672132 |
0.551038 |
0.451761 |
0.370372 |
0.225404 |
0.137174 |
0.083482 |
|
A |
- |
0.787903 |
0.699373 |
0.620791 |
0.551312 |
0.409046 |
0.303624 |
0.225391 |
|
В |
- |
0.964755 |
0.909504 |
0.835218 |
0.750460 |
0.535345 |
0.367702 |
0.231024 |
|
C |
- |
0.988152 |
0.982284 |
0.976442 |
0.970643 |
0.956289 |
0.942146 |
0.928212 |
|
D |
- |
0.998513 |
0.995522 |
0.990501 |
0.983381 |
0.957042 |
0.921014 |
0.878893 |
|
E |
- |
0.988351 |
0.974823 |
0.956987 |
0.935412 |
0.868467 |
0.788889 |
0.703311 |
|
P |
- |
0.938482 |
0.865717 |
0.774286 |
0.677430 |
0.438339 |
0.266096 |
0.147116 |
|
10,11,12 |
0,4 |
0.853064 |
0.787903 |
0.727719 |
0.672132 |
0.551038 |
0.451761 |
0.370370 |
|
B |
- |
0.996828 |
0.990459 |
0.979814 |
0.964755 |
0.909504 |
0.835218 |
0.750393 |
|
P |
- |
0.969682 |
0.942775 |
0.908333 |
0.867292 |
0.744178 |
0.608565 |
0.477858 |
|
B" |
- |
0.999593 |
0.996323 |
0.985114 |
0.960772 |
0.832682 |
0.643992 |
0.456766 |
|
P" |
- |
0.972172 |
0.948354 |
0.913246 |
0.863711 |
0.681279 |
0.469234 |
0.290873 |
На рисунке 9 нанесены кривые зависимостей вероятности безотказной работы системы после повышения надежности элементов с «10» по «12» (кривая ) и после структурного резервирования (кривая ).
Рисунок 9 - Изменение вероятности безотказной работы систем
Выводы:
а) на рисунке представлена зависимость вероятности безотказной работы системы (кривая ). Из графика видно, что 75% - наработка исходной системы составляет часов;
б) для повышения надежности и увеличения 75% - наработки системы в полтора раза (до часов) предложены два способа:
- повышение надежности элементов «10», «11», «12» и уменьшение их отказов;
- нагруженное резервирование основных элементов «10», «11», «12» идентичными по надежности резервными элементами c «16» по «19» (рисунок 8).
в) анализ зависимостей вероятности безотказной работы системы от времени (наработки) (рис.9 ) показывает, что первый способ повышения надежности системы (уменьшение интенсивности отказов элементов) предпочтительнее второго, так как в период наработки до 1,275106 часов вероятность безотказной работы системы (кривая ) выше, чем при структурном резервировании (кривая ).