Математические модели типовых технологических процессов
3. Построение математической модели
Рис. 2 Схематическое изображение тарельчатой ректификационной колонны
Установка регенерации диэтиленгликоля включает в себя три основных аппарата: тарельчатую колонну 1, имеющую N тарелок; испаритель 2, в котором испаряется часть жидкости за счет подвода тепла, и холодильник - конденсатор 3, в котором конденсируются пары жидкости, выходящей из колонны (часть из них подаются на острое орошение на верхнюю тарелку колонны).
На верхнюю тарелку колонны подается флегма в количестве F моль/с. На тарелку f подается насыщенный раствор ДЭГ (НДЭГ) в количестве L моль/с с содержанием воды Xi моль H2O/моль ДЭГ. Выведем исходные дифференциальные уравнения процесса регенерации, используя материальный баланс низкокипящего компонента. Примем следующие допущения:
1. Колонна имеет идеальные теоретические тарелки, следовательно, пары, покидающие любую тарелку, находятся в состоянии равновесия с жидкостью; КПД тарелок равен 100%;
2. Все тарелки имею одинаковую (неизменную во времени) задержку жидкости;
3. Задержкой паров между тарелками пренебрегаем как величиной высшего порядка малости;
4. В рассматриваемом полном конденсаторе не происходит дополнительного разделения; задержка жидкости и паров в конденсаторе принимается несущественной;
5. Скорости потоков жидкости и пара постоянны в нижней и верхней частях колонны, таким образом, подразумевается, что колонна работает адиабатически, компоненты смеси имеют одинаковую теплоту испарения и не дают теплового эффекта при смешивании;
6. Гидравлическое запаздывание потоков жидкости и паров не рассматривается.
7. Количество пара и жидкости в потоках не изменяется по высоте колонны, что соответствует разделению компонентов, имеющих близкие температуры кипения и теплоты испарения.
8. Жидкость на тарелках находится при температуре кипения, а пар - при температуре конденсации. Питание в колонну также подается при температуре кипения.
Для математического описания переходного процесса ректификационную колонну разделим на элементарные звенья с одной степенью свободы. Каждое звено эквивалентно теоретической тарелке колонны. Жидкость концентрируется на теоретических тарелках и в низу колонны. Колонна для принятых допущений представлена на рисунке 3. Уравнения для материального баланса верхней n-й тарелки следующие. За промежуток Дt тарелка получит молей низкокипящего компонента
и потеряет молей.
где V - скорость потока паров (моль/с);
L - скорость потока жидкости (моль/с);
F-скорость потока флегмы (моль/с);
Y- концентрация низкокипящего компонента в парах в % мол.;
X- концентрация низкокипящего компонента в жидкости в % мол.
В течение переходного периода происходит накопление или исчерпывание низкокипящего компонента на n-й тарелке.
Рис. 3 Схема материальных потоков в ректификационной колонне
Уменьшая до бесконечности промежуток времени Дt, перейдем от уравнения в конечных разностях (1)
(H - задержка жидкости на тарелке в моль)
к дифференциальному уравнению (2):
(2)
Аналогично напишем материальный баланс низкокипящего компонента для промежуточной k-й тарелки:
(3)
Для тарелки питания f материальный баланс выражается уравнением
(4)
где L - скорость потока смеси (НДЭГ), подаваемой на тарелку питания (моль/с)
XD - концентрация низкокипящего компонента в питающей смеси в %мол.
Материальный баланс низкокипящего компонента в нижней части колонны
(5)
где S - количество задержанной жидкости в нижней части колонны в моль;
W - скорость потока остаточного продукта ( моль/с);
XW- концентрация низкокипящего компонента в остаточном продукте в % мол.
Согласно допущению 5 можно принять, что
Тогда система дифференциальных уравнений примет вид:
Приведем к стандартному виду полученную систему дифференциальных уравнений:
Рассмотрим ректификационную колонну, состоящую из:
1 - й тарелки питания;
2 - х тарелок отгонной секции (низ колонны);
4 - х тарелок укрепляющей (отпарной) секции (выше тарелки питания);
Тогда система уравнений (7) примет вид:
Рис. 4 Схема материальных потоков для семи тарельчатой ректификационной колонны
Построение динамической характеристике сводиться к решению системы уравнений (8) . Каждое уравнение содержит два неизвестных X и Y, решение уравнений возможно только при известной аналитической зависимости между ними.
По принятому допущению пары, покидающие тарелку, находятся в состоянии равновесия с жидкостью, стекающей с тарелки. При этом условии имеется соотношение
(9)
где б - относительная летучесть легкого компонента абсорбента (воды) к тяжелому (ДЭГ). Для условий, рассматриваемых в данной работе б=1,2.
Уравнение (9) нелинейно, поэтому решить систему уравнений классическими методами трудно, если не невозможно, поэтому, с учетом порядка Yk, зависимость между концентрациями НКК в парах и жидкости можно считать линейной: .
Подставляем эту зависимость в систему (8) и получаем:
Преобразуем:
Так решить эту систему классическими методами трудно, как указывалось раннее, то будем решать данную систему уравнений с помощью преобразования Лапласа, используя значения технологических параметров из приложения.
Получаем следующие решения:
Тогда передаточные функции для каждой из тарелок будут иметь вид:
На основании полученных передаточных функций и анализа технологического режима проведенного ранее получим следующую структурную схему, представленную на рис. 5