logo
Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы

3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера - Лагранжа

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера - Лагранжа:

(1)?уAk + ? уA 0k =0;где

? уAk = ?F k у rk- сумма элементарных работ всех активных сил на

возможном перемещении системы;

- сумма элементарных работ всех сил инерции на

(=1*¦=!

возможном перемещении системы.

Рис.3

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис 3). Идеальные связи N4, X3, Y3, Fcu не учитывают и не отображают на расчётной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении равна нулю.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

? уA 0k = Aу+ уAp + уAp1 +уAp2 + уAp4 + уAFупр ;

Вычисляем последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их получаем:

(2) ? уA 0k = - F пр уS , ?- уA 0k = ( - c (R 2 + r 2 ) 2 / 4R22 * S - мS + F(t)) *уS;

Найдем возможную работу сил инерции:

? уA 0k = -ц1 уS1 - цуS2 - M2 у ц2 - M3 уц3 - ц4уS4 - M4 ц4у ;

Запишем выражение для главных векторов и главных моментов сил инерции

ц1= m1 a =m1 S; ц4= m4 a 4 = m4 S4; M 4 = J c4 *E 4 = J c4 * ц4;

ц2= m2 a 2 = m2 S 2; M 2 = J c2 *E 2 = J c2 * ц2 ;

ц3=0 ; M 3= J c3 *E 3 = J c3 * ц3 ;

Используя кинематические уравнения (1.7) можно записать

уS2 = у S; у ц2 = 1/R 2 у S ; у ц3 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * уS;

у ц4 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * уS; уS4 = R 2 + r 2 / 2R 2* уS;

S4 = R 2 + r 2 / 2R 2* S

S2 =S ; ц2 = 1/R2 *S; ц3 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * S;

ц3 = R 2 + r 2 / 2R 2 r 3 *S;

Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду :

? уA 0k= -( m1 +m2 + J c21/R 22 + (R 2 + r 2 )2 / R 22 r 3 2 + m4 ( R2+ r 2 )2 / 4R 22

+ J c4(R 2 + r 2 )2 / 4R 22 r 3 2 ) * S у S;

(3) ? уA 0k = - mпр * S у S;

далее подставляя выражение (2) и (3) в (1) т.е в общее уравнение динамики получаем

Поделив это уравнение на уS = 0 получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

S + 2nS + k2 S = F0 /mпр sin (pt) , где k = R2 +r2 /2R2 c/mпр = 19 , 3 c -1

n = м / 2 mпр = 6.1 c -1

Полученное нами дифференциальное уравнение полностью совпадает с полученными ранее уравнением