Преобразование Фурье

Ряд Фурье

Бесконечный периодический сигнал, удовлетворяющий заданным требованиям можно разложить в ряд Фурье.

Ряд Фурье позволяет вычислить дискретные значения спектра сигнала, называемые гармониками сигнала ,,.

Под спектром сигнала подразумевается совокупность амплитуд и фаз гармонических сигналов в разложении исходного сигнала в ряд Фурье. Таким образом, спектр сигнала является функцией амплитуды и фазы от частоты. На практике различают амплитудный и фазовый спектры.

Ряд Фурье представляется в следующем виде:

Коэффициенты ряда ,ивычисляются по следующим формулам:

Частные суммы ряда могут быть представлены в следующем виде:

где – амплитуда гармоники с номеромk в спектре сигнала, – фаза гармоники с номеромk в спектре сигнала. При этом спектр сигнала является дискретным.

Интеграл Фурье

Если сигнал непериодический то для вычисления спектра сигнала используется интеграл Фурье, который имеет следующий вид:

;

Коэффициенты ивычисляются по следующим формулам:

; ;

При этом спектр сигнала является непрерывным.

Расширение непериодического сигнала конечной длительности до периодического сигнала бесконечной длительности

Рассмотрим функциюс периодом, то есть.

Построим непериодическую функцию :

Заметим, что .

значение спектра функции ,амплитуда гармоники с номеромв спектре.

При , выполняется равенство:

(1).

Логарифмические единицы для измерения амплитуды и мощности

На практике, для измерения амплитуды () и мощности () сигналов принято использовать логарифмические единицы (-децибел).

(2)

,

где - амплитуда гармонического сигнала принимаемого за единицу отсчета.

При использовании логарифмических единиц отношение амплитуд или мощностей двух сигналов, выраженное в децибелах, может быть вычислено как разность амплитуд или мощностей сигналов, выраженных в децибелах.

;

В практике частотного анализа сигналов распространены производные от децибел единицы: децибел-вольты () – единицы измерения численно равные значению сигнала в децибелах по отношению к сигналу, имеющему действующее значение 1В.

Таким образом, амплитуда синусоидального сигнала, выраженная в децибел-вольтах .

Взаимосвязь спектра конечного непериодического и расширенного бесконечного периодического сигнала

Комбинируя выражения (1) и (2) получаем следующее равенство:

;

Таким образом, можно использовать разложение функции в ряд Фурье для вычисления значений спектрафункциипри.

Быстрое преобразование Фурье

Быстрое преобразование Фурье (БПФ) – это алгоритм вычисления дискретного преобразования Фурье при количестве отсчетов сигнала равном степени двойки.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) – дискретизированная функция непрерывного преобразования Фурье, которая вычисляется для дискретизированного по времени сигнала.

Одной из дополнительных возможностей современных цифровых осциллографов является возможность вычисления спектра сигнала. В цифровом осциллографе спектр сигнала вычисляется для той части сигнала, которая изображается на экране осциллографа.

Для вычисления спектра сигнала цифровой осциллограф использует алгоритм БПФ (быстрое преобразование Фурье).