Лекальные кривые

Кривая, заданная множеством точек, представляющая ряд сопряженных отрезков кривых, которые невозможно построить с помощью циркуля, называется лекальной кривой.

Лекальные кривые – эллипс, парабола, гипербола, синусоида, спираль Архимеда, эвольвента, циклоидальные кривые и многие другие имеют широкое применение в технике, так, например, профили зубьев цилиндрических, конических и винтовых зубчатых колес очерчивают или по эвольвенте окружности, или другим циклоидальным кривым. Особенно широко применяются в технике кривые второго порядка, к ним относятся конические сечения: окружность, эллипс, парабола и гипербола. Эти кривые являются образующими ряда поверхностей вращения (например, эллипсоида, параболоида), часто встречающихся в различных инженерных конструкциях. Поэтому необходимо изучить законы образования лекальных кривых и освоить приемы их построения.

Эллипс – замкнутая кривая, для которой сумма расстояний от любой ее точки до двух точек ‑ фокусов эллипса, ‑ величина постоянная, равна большой оси эллипса.

Рис. 2.15

Существует множество способов построения эллипса, основанных на его свойствах, рассмотрим наиболее простой – построение эллипса по большой АВ и малой CD осям (рис. 2.15).

Проводим осевые линии, затем от центра О откладываем вверх и вниз по вертикальной оси отрезки ОC и ОD, равные длине малой полуоси, а влево и вправо по горизонтальной оси отрезки ОА и ОВ, равные длине большой полуоси.

Из центра О радиусами ОА и ОC проводим две концентрические окружности и ряд лучей-диаметров. Из точек пересечения лучей с окружностями проводим линии , параллельные осям эллипса, до взаимного пересечения в точках, образующих эллипс. Намеченную точками линию строим по лекалу.

Парабола – плоская кривая, каждая точка которой равноудалена от точки (фокуса), лежащей на оси симметрии и прямой (направляющей, директрисы), перпендикулярной оси симметрии.

Известно несколько способов построения параболы, рассмотрим способ построения по заданной вершине О, оси ОС и точке В (рис. 2.16).

Рис. 2.16

Строим вспомогательный прямоугольник ABCD. Стороны AB и АО делим на равные части и точки деления нумеруем. Горизонтальный ряд деления (на АВ) соединяем лучами с вершиной О, а через точки деления расположенные на АО, проводим линии, параллельные оси параболы. Точки пересечения горизонтальных прямых 1₁, 2₁,… с лучами О1, О2,… принадлежат параболе. Полученные точки параболы соединяем по лекалу.

Гипербола – плоская кривая, состоящая из двух разомкнутых, симметрично расположенных ветвей (рис. 2.17) разность расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов F и F₁ есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами А и В.

Рассмотрим способ построения гиперболы по заданному расстоянию между вершинами АВ и фокусному расстоянию FF₁.

Проводим осевые линии, затем от центра О, разделив расстояние между вершинами АВ и фокусное расстояние FF₁ пополам, откладываем влево и вправо по горизонтальной оси отрезки ОА и ОВ и отрезки ОF и ОF₁. Слева от фокуса F произвольно берем ряд точек 1, 2,3, 4,…, постепенно увеличивая расстояние между ними. Из фокуса F описываем дугу вспомогательным радиусом R, равным, например, расстоянию от вершины В до точки 3. Из фокуса F₁ проводим вторую вспомогательную дугу радиусом R₁, равным расстоянию от вершины А до точки 3. На пересечении этих дуг находим точки С и С₁, принадлежащие гиперболе. Аналогично строим остальные точки правой ветви гиперболы.

Левую ветвь гиперболы строим аналогично.

Рис. 2.17

Синусоида – плоская кривая, выражающая закон изменения синуса в зависимости от величины центрального угла. Длина волны синусоиды равна 2πR, где R – амплитуда синусоиды.

Рис. 2.18

Для построения синусоиды по заданной амплитуде (рис. 2.18) проводим горизонтальную ось, откладываем на ней отрезок АВ, равный вычисленной длине волны, как 2πR, и делим его на 12 равных отрезков. Слева на этой оси вычерчиваем окружность радиусом R и также делим ее на 12 равных отрезков. Точки деления нумеруем и через них проводим горизонтальные прямые. Из точек деления отрезка АВ восстанавливаем перпендикуляры к оси синусоиды и на их пересечении с горизонтальными прямыми находим точки синусоиды, которые соединяем по лекалу.

Эвольвента окружности – плоская кривая линия, являющаяся траекторией точки прямой линии, когда эта прямая перекатывается без скольжения по окружности.

Рис. 2.19

Для построения эвольвенты (рис. 2.19) заданную окружность диаметра D делим на несколько равных частей, удобно на 12, которые нумеруем. Из точки 12 (последней) проводим касательную к окружности и на ней откладываем длину окружности, равную πD, которую также делим на 12 равных частей. Из точек деления окружности проводим касательные и откладываем на них соответствующие длины окружностей, а именно откладываем на первой касательной одно деление окружности, на второй два, на третьей три и

т. д. Получаем ряд точек I, II, III,…, которые соединяем по лекалу.

Спираль Архимеда – это плоская кривая линия, образуемая точкой, равномерно движущейся по прямой, равномерно вращающейся вокруг неподвижной точки.

Для построения спирали Архимеда задается шаг спирали S (рис. 2.20).

Из центра О проводим окружность, равную шагу S, и делим окружность и шаг на несколько равных частей. Точки обозначаем. Из центра О, радиусом О1, О2 и т. д., проводим дуги до пересечения с соответствующими радиусами. Полученные точки I, II, III и т. д., принадлежащие спирали, соединяем по лекалу плавной кривой линией.

Рис. 2.20

Циклоида – плоская кривая линия, являющаяся траекторией точки, лежащей на окружности, которая катится без скольжения по прямой.

Рис. 2.21

Построение циклоиды. На направляющей горизонтальной прямой

(рис. 2.21) откладываем длину производящей окружности радиусом R, равную 2πR. Окружность и отрезок делят на несколько равных частей, удобно на 12. Из точек делений отрезка 1, 2,3, 4,…, 12 восстанавливаем перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности, получаем точки О₁, О₂,..., О₁₂. Из точек делений окружности проводим горизонтальные прямые, на которых из точек О_t, О₂, ..., О₁₂ делаем засечки дугами окружности радиуса R и получаем точки принадлежащие циклоиде, которые соединяем по лекалу плавной кривой линией.

Эпициклоида ‑ это плоская кривая линия, являющаяся траекторией точки, лежащей на окружности, которая катится без скольжения по направляющей окружности.

Рис. 2.22

Построение эпициклоиды. Производящую окружность диаметра D и направляющую окружность радиуса R проводим так, чтобы они касались в точке 12 (рис. 2.22). Производящую окружность делим на 12 равных частей. Из центра О₀ радиусом, равным R + 0,5D, проводим вспомогательную дугу.

Центральный угол α определяют по формуле

α = 180°.

Разделив дугу направляющей окружности, ограниченную углом , на 12 равных частей, получают точки 1', 2', 3', ..., 12'. Из центра О₀ через точки 1', 2', 3', ..., 12' проводим прямые, которые продолжают до пересечения с вспомогательной дугой в точках O₁ , О₂, О₃, ..., О₁₂. Из центра О₀ проводим вспомогательные дуги через точки делений 1—12 производящей окружности.

Из точек О₁, О₂, О₃, ..., О₁₂, как из центров, проводим окружности диаметром D до пересечения с вспомогательными дугами и получаем точки пересечения, принадлежащие эпициклоиде. Полученные точки соединяем по лекалу.