158. Методы оптимизации технологических процессов. Перечислите методы и сущность каждого

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ:

1. Алгоритмические.

2. Градиент.

3. Математическое программирование:

3.1 линейное;

3.2 нелинейное;

3.3 целочисленное;

3.4 динамическое;

3.5 статистическое моделирование.

4. Аналитические (формулы).

Многообразие видов ММ ТС и широкая область их применения отражаются и в различии методов оптимизации. Целью оптимизации является выделение из этого множества единственного варианта ТС, оптимальной по некоторому результирующему критерию или нескольким критериям качества. Сравнение ТС между собой по нескольким критериям качества однозначно можно осуществить с помощью принципа Парето. Согласно этому принципу одна система лучше другой, если соответствующие ей критерии качества имеют значения не хуже критериев качества сравниваемой системы. Причем хотя бы один из них должен быть лучше соответствующего критерия другой системы. Принцип Парето позволяет упорядочить множество рассматриваемых систем и выделить в нем некоторое подмножество, внутри которого сравнение систем по указанному принципу уже невозможно. В тех случаях, когда нецелесообразно сужать поле поиска и вместе с тем необходимо отбросить неоптимальные системы, требуется построение конкретной процедуры реализации принципа Парето. Ее можно сформулировать как задачу оптимизации по одному из критериев качества, когда остальные критерии включены в разряд ограничений.

Выбор единственной оптимальной системы возможен далее только путем введения результирующего критерия, а полученная зависимость может использоваться при этом как дополнительное ограничение. Рассмотренный вариант реализации принципа Парето не является единственным, это задача многокритериальной оптимизации практически сводится к однокритериальной. Поэтому методы однокритериальной оптимизации имеют фундаментальное значение для проблемы оптимизации. Ввиду сложности современных ТС задача полной оптимизации разделяется на ряд подзадач оптимизации. В первую очередь это задачи оптимизации элементов ТС и затем задачи оптимизации всей системы по частным критериям или по некоторому результирующему критерию. Элементы ТС могут быть более или менее детально описаны математически, поэтому их оптимизация может быть осуществлена аналитическими методами. Это в первую очередь метод множителей Лагранжа, метод геометрического программирования, градиентный метод оптимизации.

Градиентный метод оптимизации и его обобщения используют свойство градиента быть направленным в сторону максимального возрастания функции качества. Поэтому если нет ограничений, то алгоритм сводится к генерированию новой точки исходя из предыдущей с помощью следующего соотношения:

,

где - шаг перемещения из в .

Как видно, перемещение осуществляется из в в сторону противоположную направлению градиента. Более сложным обобщением градиентного метода является алгоритм переменной метрики. Однако он требует вычислений разностей градиентов в последовательных точках, т. е. учитывает приращения второго порядка. Аналогичные добавки получаются и в методе сопряженных направлений.

Величина шага подбирается из условия, чтобы функция имела в следующей точке первый локальный минимум по . При наличии ограничений существует несколько вариантов применения метода градиента: штрафных функций, проекции градиента.

Наиболее наглядным является метод перемещения к седловой точке для функции Лагранжа из некоторой начальной точки (, ).

При переходе к подсистемам более высокого иерархического уровня возможности точного математического моделирования уменьшаются или же точные ММ становятся настолько сложными, что вышеуказанные методы применить нельзя. В настоящее время в связи с широким внедрением средств вычислительной техники получили распространение численные методы оптимизации: метод наискорейшего спуска, метод Ньютона, метод покоординатного спуска, симплекс-метод и др.

Особого упоминания заслуживает метод линейного программирования, поскольку широко используется аппроксимация линейными функциями различных аналитических и экспериментальных зависимостей. Этот метод следует рассматривать не только как метод исследования операций. Существуют его модификации, позволяющие решать задачи параметрического синтеза. Поскольку моделями функционирования большинства ТС являются динамические модели, в которых ТП представляется как некоторый многоэтапный процесс, то наиболее адекватной стратегией их оптимизации является стратегия динамического программирования. Успех применения того или иного метода оптимизации во многом зависит от выбора критерия качества, т. е. аналитической зависимости показателя качества от параметров , по которым оптимизация производится.

Широко используются некоторые унифицированные аналитические зависимости для представления критериев качества, инвариантные относительно метода оптимизации, а между тем выбор подходящей аналитической зависимости для критерия качества позволяет повысить эффективность применяемого метода. Так, при использовании метода Ньютона неравноценны даже эквивалентные с точки зрения описания качества системы функции и , аналитическая запись которых отличается лишь знаком корня. В частности, для

во втором случае точное решение получается за одну итерацию из любой начальной точки, а в первом случае число итераций зависит от положения начальной точки и может быть значительным.

Исходя из общих особенностей ТС можно дать некоторую схему применения методов оптимизации и используемых при этом критериев. Любая ТС предполагает пространственно-временную организацию перемещения исходных ресурсов (материалов, комплектующих), промежуточных продуктов и законченного изделия. Весьма широкий круг задач подобного рода допускает формулировку в виде задачи линейного программирования. В качестве критериев в данном случае выступают общие затраты на транспортирование, временные затраты, затраты на реконструкцию существующих систем и т. д. Ограничения обычно носят характер неравенств, отражающих возможности средств транспортирования, производительности оборудования, ресурсы поставляемых материалов и комплектующих. Возможности оптимизации систем в целом с помощью метода линейного программирования позволяют на самом раннем этапе ее проектирования просмотреть множество различных ее вариантов и получить весьма полезную дополнительную информацию для ее структурного синтеза. Здесь возможно получение информации об оптимальном размещении системы и рациональном выборе поставщиков и т. д. Следует отметить, что применение линейного программирования не ограничивается оптимизацией ТС, так сказать, в микромасштабе. Имеются весьма важные области применения линейного программирования и для оптимизации ТП. Так, в современной технологии РЭА важную роль играет получение веществ с высокой гомогенностью состава. Задача синтеза таких веществ из исходного сырья, содержащего несколько компонентов, может быть сформулирована как некоторая задача равномерного приближения и решена с помощью метода линейного программирования. Как задача равномерного приближения формулируется также задача построения кинематических узлов с заданными свойствами.

Проектирование элементов ТС предполагает использование преимущественно нелинейных ММ и соответственно методов нелинейного программирования. В качестве обобщенного критерия здесь выступает производительность, надежность при ограничениях на затраты энергии, материалов, комплектующих. Среди указанных методов в настоящее время широкое распространение получил метод геометрического программирования.

Уникальным свойством геометрического программирования является то, что оптимальное значение критерия вычисляется до получения координат оптимальной точки. Это позволяет построить весьма экономичные вычислительные алгоритмы при сравнении различных параметров ТС и облегчить структурный синтез. После проектирования элементов ТС осуществляется возврат к оптимизации системы в целом, но уже преследующий совершенно иные цели, чем при использовании метода линейного программирования. Наиболее важным становится оптимальное распределение функций между отдельными элементами ТС. Математическая модель системы на этом этапе уже известна в наиболее законченном виде. Однако ввиду ее сложности оптимизация на этом этапе встречает трудности вычислительного характера из-за большой размерности задачи. Наиболее важным методом оптимизации на этом этапе является метод динамического программирования.

Использование метода динамического программирования для указанных систем возможно в случае, если критерий качества является аддитивной функцией управляющих переменных, каждая из которых регулирует процесс на определенном этапе. Оптимальное значение управляющей переменной определяется состоянием системы в начале этого этапа и конечной целью управления и не зависит от эволюции системы на предыдущих этапах. Последнее условие соответствует принципу оптимальности Беллмана и является условием применимости динамического программирования. Динамическое программирование не является методом в строгом смысле, а является некоторой общей стратегией, заключающейся в том, что исходная задача становится задачей многоэтапной оптимизации, каждый этап которой, начиная с конечного, использует информацию об оптимальном решении на предыдущем этапе. Эта информация в наиболее явном виде может быть представлена в виде функционального уравнения, связывающего значение критерия качества на оптимизируемом этапе с оптимальным значением критерия качества на предыдущем этапе. Управляющие переменные могут быть векторными величинами.

Другой трудностью использования динамического программирования является то, что функция качества не является выпуклой функцией и поэтому достигаемый этим методом экстремум не является глобальным. Однако примеры решения задач методом динамического программирования показывают, что полученные решения имеют достаточно хорошее качество.

В ряду методов оптимизации ТС заслуживают упоминания метод наискорейшего спуска и метод покоординатного спуска. Особую эффективность эти методы имеют в случае имитационного моделирования ТС, применяемого в том случае, если производные критерия качества по управляющим переменным не могут быть выражены из-за сложности ММ в явном виде через управляющие переменные. Направление наискорейшего спуска оценивается по отклику критерия качества на изменения управляющих переменных. Оба указанных метода являются в настоящее время наиболее универсальными численными методами оптимизации и могут быть реализованы в виде конкретных алгоритмов, позволяющих получить локальные, а в случае выпуклости функции качества и глобальные экстремумы.

Метод случайного поиска может быть применен для оптимизации систем большой сложности и большой размерности (т. е. зависящих от большого числа параметров). Для его реализации необходимы достаточно производительные генераторы случайных (псевдослучайных) чисел.

Все эти методы оптимизации используются также в задачах оптимального управления ТП, в частности в задаче оптимального контроля параметров ТП и качества выпускаемых изделий. Введение развитой системы контроля качества, например, позволяет на ранних стадиях ТП отбраковывать изделия и тем самым устранять затраты на обработку заведомо негодных изделий. Это приводит к задачам линейного и нелинейного, целочисленного программирования. Задача оптимального управления ТП использует сложные динамические модели и требует привлечения самых мощных и универсальных методов оптимизации, среди которых метод случайного поиска зачастую оказывается единственно реализуемым.

Оптимизация современных ТС требует привлечения целого ряда методов оптимизации. Оптимизацию ТС можно рассматривать как некоторый многоэтапный процесс с возможным циклическим повторением этапов. Разработчики ТС должны быть знакомы с широким кругом методов оптимизации, их возможностями и сравнительной эффективностью. Проблема разработки универсального математического и программного обеспечения методов оптимизации для современных ЭВМ в настоящее время, весьма актуальна и далека от разрешения.

Когда имеется одна достаточно четко выраженная цель, степень которой можно оценить на основе одного критерия, используются методы математического программирования. Если эта цель, а следовательно, и степень ее достижения описываются с привлечением методов теории вероятностей или математической статистики, то используется стохастическое программирование.

Для анализа и синтеза ТП сборки и монтажа РЭА, оптимизации их структуры и принципов управления широкое распространение получил метод статистического моделирования. Его сущность состоит в создании специального алгоритма, реализуя который на ЭВМ, можно воспроизвести процесс по элементам с сохранением логической структуры и последовательности протекания процесса.

Метод статистического моделирования включает четыре этапа.

1. Составление содержательного описания процесса. Оно проводится на основе обстоятельного изучения процесса при выполнении натурного эксперимента на реально существующей аппаратуре и оборудовании, а также фиксации количественных характеристик. При отсутствии реального объекта используются накопленный опыт и результаты наблюдений за процессами аналогичного назначения. Содержательное описание позволяет:

- составить ясное представление о физической природе и количественных характеристиках ТП;

- расчленить ТП на ТО и простейшие элементы, определить их показатели и параметры;

- составить схему взаимодействия элементов в операции, а операций в ТП; определить закономерности изменения показателей процесса при изменении его параметров виде таблиц и графиков;

- сформулировать постановку задачи, значение начальных условий.

2. Построение формализованной схемы. На этом этапе уточняются количественные характеристики ТП и дается строгое математическое определение всех зависимостей между показателями и параметрами ТП, его отдельных элементов. Полученные на предыдущем этапе экспериментальные данные подвергаются систематизации с учетом случайного характера их получения. При формализации различают случайные события, случайные величины и случайные функции. Случайные события задаются с помощью вероятностей или частостей их появления, случайные величины- законами распределения или их числовыми характеристиками: средним значением, среднеквадратическим отклонением, корреляционными моментами, а случайные функции - средними значениями и корреляционными функциями. В заключение устанавливается точная математическая формулировка задачи исследований.

3. Составление моделирующего алгоритма проводится на основе построенной ММ. Для преобразования формализованной схемы в ММ необходимо, воспользовавшись готовыми математическими схемами (случайное событие, система массового обслуживания и т. д.), записать в аналитической форме все соотношения, которые еще не были записаны, выразить логические условия в виде систем неравенств, а также придать аналитическую форму всем другим сведениям, имеющимся в формализованной схеме. Числовой материал для удобства обработки на ЭВМ используется не в первоначальном виде, а в форме аппроксимирующих функций.

Моделирующие алгоритмы чаще всего представляются в виде схемы, где каждый блок изображает достаточно крупную группу элементов ТП, а связи между блоками отражают логическую структуру ТП. Схема алгоритма не учитывает особенностей системы команд ЭВМ, они вводятся при построении развернутых схем счета и программировании.

4. Разработка методики решения задачи и использование результатов моделирования. Методика решения задачи определяется целью исследования. Количество реализаций процесса моделирования рассчитывается исходя из заданной точности представления результатов. Полученные данные справедливы при фиксированных значениях параметров процесса, входной информации и начальных условиях.