Прикладная механика
Задача № 8 Расчет сжатого стержня на устойчивость
Задание: Определить влияние длины стойки на величину допускаемой нагрузки. Материал стойки - сталь Ст.3: Е = 2,1 * 105 МПа; уТ = 240 МПа; лпред. = 100; л0 = 40; a = 310 МПа; b = 1,14 МПа. Требуемый коэффициент запаса устойчивости [nу] = 2. Схема стойки приведена на рис. 1.
Исходные данные: сечение балки - двутавр № 22, длина стержня l=4 м.
м = 0,7
Решение:
1. Определяем допускаемую нагрузку сжатой стойки.
Способность стержня сопротивляться потере устойчивости характеризуется безразмерной величиной - гибкостью:
,
где м - коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа закрепления концов;
imin - наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня;
Jmin - наименьший осевой момент инерции поперечного сечения стержня;
А - площадь поперечного сечения стержня.
а.) Из каталога для двутавра № 22: Jmin= Jу=157 см4; А=30,6см2.
см
Если гибкость стержня л ? лпред., критическую силу вычисляют по формуле Эйлера: Н414,6 кН
Допускаемая нагрузка находится по формуле:
б.) Для длины 0,5l=2м=200см
Если гибкость стержня лпред. > л ? л0, критическую силу вычисляют по эмпирической формуле Ясинского:
Fкр=А*(a?b*л )=30,6*10-4*(310*106-1,14*106*61,8)=733кН
Допускаемая нагрузка находится по формуле:
в.) Для длины 2l=8м=800см
Если гибкость стержня л ? лпред., критическую силу вычисляют по формуле Эйлера: кН
Допускаемая нагрузка находится по формуле:
г.) Для длины 4l=16м=1600см
Если гибкость стержня л ? лпред., критическую силу вычисляют по формуле Эйлера: кН
Допускаемая нагрузка находится по формуле:
По результатам строим график зависимости допускаемой нагрузки от длины стержня, который показывает что при увеличении длины стержня, допускаемая нагрузка снижается.
2. Определим значения длины и допускаемой нагрузки стойки при л = лпред. и л = л0.
а). при л = лпред.=100
м
кН
б). при л = л0=40
м
Fкр=А*(a?b*л )=30,6*10-4*(310*106-1,14*106*40)=809кН
Вывод: при повышении гибкости стержня, уменьшается допускаемая нагрузка.