4. Контактное взаимодействие шероховатой поверхности с гладкой

Будем полагать, что контурное давление одинаково на отдельных пятнах касания. Такое утверждение в условиях упругого контакта подтверждается моделью Гринвуда-Вильямсона. В этом случае относительная фактическая площадь контакта определяется выражением

где Аr0- фактическая площадь, отнесенная к максимальной контурной площадке.

Относительная площадь контакта будет равна

.

Представляя шероховатый слой в виде фрактального объекта, найдем параметры, определяющие контактное взаимодействие неровностей с контртелом.

Радиус закругления верхней части неровностей

Радиус закругления вершин неровностей зависит от фрактальной размерности и от уровня, от которого измеряется высота выступа (от среднего уровня и выше). Запишем радиус закругления вершины неровности для круглого сечения выступа в виде

Здесь a - площадь рассматриваемого сечения выступа; D - фрактальная размерность профиля (D = DS-1); G - фрактальный параметр, определяемый по формуле

Контакт двух шероховатых поверхностей является дискретным. Отдельные пятна касания, распределенные по степенному закону, находятся в упругом или пластическом состояниях.

Процесс контактного взаимодействия фрактальных поверхностей происходит по следующей схеме. На начальном этапе при росте сжимающей нагрузки неровности деформируются пластически, формируя большие площадки касания с упругим состоянием.

Критерий перехода от пластического состояния к упругому определяется площадью рассматриваемого пятна касания по формуле

(6)

Здесь Hm - твердость по Мейеру; Rmax- максимальная высота; м - коэффициент Пуассона; Е - модуль упругости.

При этом полагаем, что все пятна касания, имеющие площадь, большую ac, находятся в упругом состоянии.

Распределение площадок контакта

Фундаментальное положение в теории контактного взаимодействия о дискретности контакта предполагает наличие определенного распределения площадей пятен касания (рис. 7).

Рис. 7 Шероховатая поверхность (слева) и пятна касания при контакте с гладкой поверхностью (справа): а - реальная поверхность; б -- модель в виде набора сферических сегментов (по K.Varody, Венгрия)

Считается, что подобное распределение подчиняется степенному закону.

Наличие многовершинности выступов и более мелких неровностей на выступе ограничивает использование распределения высот выступов для более точной оценки параметров контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.

Переход от функции распределения высот выступов к распределению площадей пятен касания производится по следующей формуле:

,

где - функция, обратная ; - модуль производной; а - площадь пятна; h - высота.

Рассматривая верхнюю часть выступа в виде сферического сегмента (рис. 8), запишем выражение для площади среза в виде:

(7)

Рис.8. Модель выступа

Здесь r - радиус закругления; - сближение; z- высота выступа; Rp - высота сглаживания.

Из уравнения (6) найдем высоту выступа

Определим связь между высотой выступа и радиусом закругления

Относительная высота будет равна

где D, G - соответственно фрактальная размерность (1<D<2) и фрактальный параметр шероховатости.

При =Rp высота выступа определяется площадью основания выступа.

В этом случае можно записать

Здесь a*=a/ amax - площадь основания выступа.

Обратная функция имеет вид

где

Производная обратной функции равна

Так как распределение площадок нагруженного контакта рассматривается относительно amaxи фрактальная размерность не зависит от уровня сближения, то можно при определенном сближении найти такое значение с1, при котором с1=1. Тогда

Плотность распределения пятен касания подчиняется выражению

(8)

Здесь

Интегральная функция распределения (8) имеет вид

где m=[(-1)(2-D)-D]/2, n=(w-1)(2-D)/2, - переменная интегрирования.

Разложив сомножитель в подынтегральном выражении (1-)п в ряд по формуле бинома Ньютона и ограничиваясь четырьмя членами разложения, получим:

Здесь с3 -коэффициент, определяемый из условия нормировки F(a*=1) = 1.

Интегральную функцию для конкретных расчетов представим в виде

(9)

Для определения показателя степени p используем следующую процедуру. Задавшись значением , найдем точки в логарифмической шкале координат

С помощью метода наименьших квадратов вычислим коэффициенты b0 иb1 аппроксимирующей функции y=b0+b1x, где y=lgF(a*), x=lg(a*).

В результате получим выражение lgF(a*)= b0+b1lg(a*). Потенцируя полученное выражение, запишем:

Учитывая, что при a*=1 имеем F(a*)=1,предыдущее выражение представим в виде

.

Откуда

Приемлемым для оценки показателя p является значение a*=0,25.

В качестве примера рассмотрим поверхности, имеющие разные параметры шероховатости.

Для шлифованной поверхности примемRa= 0,680 мкм; = 1,27;w= 2,97, для притертой поверхности -Ra= 0,329 мкм; = 1,69;w= 2,06.

В табл. 2 приведены значения с3 и р в зависимости от фрактальной размерности. На основании данных таблицы запишем для шлифованной и притертой поверхностей уравнения регрессии в виде

Таблица 2

Значения с3 и р

На рис. 9, 10 показаны конфигурации пятен контакта шероховатых поверхностей.

В качестве примера приведены карты поверхности (рис. 11), полученные с помощью аппаратно-программного комплекса, предназначенного для оценки геометрических параметров на базе трехкоординатной измерительной установки.

поверхность контакт неровность

Рис. 9. Контактное взаимодействие шероховатых поверхностей

с взаимно перпендикулярными следами обработки (а), пятна касания (б), зазор по линии (в), указанной на карте пятен касания (б)

Рис. 10. Контактное взаимодействие шероховатых поверхностей

с совпадающими следами обработки (а), пятна касания (б)

Рис. 11. Шероховатые поверхности:a ? точение (,);

б ? полирование (,); в ? шлифование (,); г ? электроэрозионная обработка (, )

На рис. 12, 13 представлены модели контактного взаимодействия инженерных поверхностей с совпадающими и взаимно перпендикулярными следами обработки.

Распределение площадок пятен контакта получено для двух сопряженных поверхностей. При этом следы обработки поверхностей либо были взаимно перпендикулярны (рис. 12), либо совпадали (рис. 13).

Компьютерное моделирование сближения поверхностей позволило найти размеры 24-х площадок при взаимно перпендикулярном направлении следов обработки и 72-х площадок при совпадении следов обработки. После деления значений каждой из площадок контакта на максимальное значение были получены данные, подвергнутые статистическому анализу.

Рис. 12. Моделирование контакта поверхностей с взаимно перпендикулярными следами обработки

Рис. 13. Моделирование контакта поверхностей с совпадающими

следами обработки

Результаты анализа показали, что распределение площадок контакта подчиняется степенному закону (рис. 14). Показатель степени имел среднее арифметическое значение р=0,2156 (для взаимно перпендикулярного расположения следов обработки). Таким образом, функция распределения может быть записана в виде

.

Рис. 14. Зависимости плотности вероятности (слева) и функции распределения от относительной площади пятен контакта

Здесь а* - относительная площадь, равная отношению площади пятна к максимальной площади касания .

Проверка согласия экспериментальной и теоретической функций распределения проводилась по критерию Колмогорова. Максимум модуля разности между этими распределениями оказался равным D=0,379. По формуле

.

Статистический анализ для контакта поверхностей с совпадающими следами обработки показал, что и в данном случае подходящим законом распределения является степенной закон. При этом теоретическая функция распределения определяется формулой (5.8). Показатель степени в данном случае был равен р= 0,1639.

Распределение площадок контакта отражает особенности контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.

Полагаем, что в общем случае закон распределения определяется площадью максимального пятна касания и не зависит от взаимного расположения следов обработки.

Запишем для единичного пятна связь между нагрузкой и площадью соответственно при упругом и пластическом состояниях в виде

где

Из условия равновесия найдем

Здесь Ne, Np - число пятен касания, находящихся в упругом и пластическом состояниях:

где N- общее число пятен, равное для рассматриваемой контурной площади Sпр, Sпоп - шаг неровностей в продольном и поперечном направлениях.

Для множественного контакта можно записать

. (10)

Контурное давление равно

.

Из уравнения (10) можно найти максимальную площадь деформированных неровностейamax и уточненное значение сближение бш, которое определяется деформацией наибольшего выступа и связано с максимальной площадкой контакта формулой

Для определения параметров контактного взаимодействия при повторномнагружении необходимо знать, насколько уменьшилась высота выступа вследствие пластического деформирования. Площадь сечения выступа на уровне бш определяется выражением

На рис. 15 представлен выступ и уровни деформации: бш - шероховатого слоя и бпл - пластическая деформация слоя.

Рис. 15. Деформация выступа

Учитывая контурное давление, определим нагрузку, воспринимаемую площадью сечения выступа:

Пластическая часть площади выступа 

Тогда пластическая деформация выступа будет равна

При повторном нагружении следует учесть новое значение высоты выступа, равное

С учетом нового значения высоты выступа можно использовать полученные ранее выражения (табл. 5.4) для оценки параметров контактирования и при повторном нагружении.

При контактном взаимодействии анизотропных поверхностей (рис. 9, 10) пятна контакта существенно отличаются от формы круга.

В этом случае, используя компьютерное моделирование, найдем в графической форме зависимости контурной площади сопряжения от сближения при любой форме пятен касания.

Тогда несущая способность контакта при определенной нагрузке определяется одной и той же контурной площадью, которая соответствует разным сближениям и другим параметрам контактного взаимодействия. Процедура определения сближения для разного сочетания поверхностей понятна из рис. 16.

В табл. 3 представлены выражения для оценки параметров контактного взаимодействия инженерных поверхностей.

Рис. 16. Зависимость контурной площади от относительного сближения б*=б/Rp

Таблица 3

Выражения для оценки параметров контактирования